关于CRC基础知识的一些问题

Question

我是一名电子工程师，并没有发现从纯粹的数学角度考虑CRC非常重要。但是，我有以下问题：

1. 为什么在计算CRC时我们在消息中添加n个零，n是生成多项式的次数？我在模2长分区以及CRC

的硬件实现中已经看到了这一点

2. 为什么我们希望生成多项式可以被（x + 1）整除？

3. 为什么我们希望生成多项式不能被x整除？

Answer 1

1. 我们在计算n位CRC时添加n个零，因为当将CRC附加到消息并发送整个（电信中的常规做法）时：
   • 这允许接收方处理CRC的比特，就像消息的其余部分一样，导致任何无差错传输的已知余数。当消息的结尾由跟随 CRC（通常的做法）指示时，这尤其有用;在接收端，它保存了n位缓冲区，在发送端，它几乎没有增加复杂性（x(n)的额外项在CRC传输期间减少到AND门强制消息位为零，以及在发送CRC时执行n额外减少步骤 在数学上，发送的CRC是(M(x) * x^n) mod P(x) = R(x)（可能在某个常数内，或者/并且可能在M(x)的开头添加一些规定的位，对应于CRC寄存器的初始化），并且计算出的CRC接收方是M(x)和R(x)的串联，即为 (M(x) * x^n + R(x)) mod P(x)，为零（或表示常数）。
   • 它确保影响消息结束和连续CRC的错误突发受益于多项式选择所提供的全部保护。特别是，如果我们将C(x)计算为M(x) mod P(x)，则在错误检测中使用的大多数多项式确保时，翻转M(x)的最后一位和C(x)的最后一位将不会被检测到检测到任何两位错误，直到某个大的邮件大小。
2. 通常的做法是将CRC多项式用于可被x+1整除的错误检测，因为它可以确保检测到影响奇数位的任何错误。然而，这种做法并不普遍，并且有时会阻止为更好的一些有用定义选择更好的多项式，包括最大化消息长度以便总是检测到m个错误（假设没有同步丢失） m和n的组合。特别是，如果我们希望能够检测到可能的最长消息的任何2位错误（这将是2 ⁿ -1位，包括n位CRC ），我们需要多项式是原始的，因此是不可简的，因此（n> 1）不能被x+1整除。
3. 通常的做法是将用于错误检测的CRC多项式不能被x整除，因为否则生成的CRC的最后一位将是常量，并且无助于检测其余信息中的错误+ CRC。