需要解释分离线性滤波器

Question

我很难理解x和y轴上线性滤波器的分离。根据{{​​3}}，可以将高斯模糊分开：

Wikipedia

我无法理解这种情况。首先考虑方程式的正确方面。滤波器表示1/16 *（左上角像素+ 2 *顶部像素+右上角像素+ ...）。现在左方面说了些什么？ 1/4 *（顶部+ 2 *中间+底部）* 1/4 *（左+ 2 *中+右）？

很明显我弄错了。现在做正确的方法是什么？右侧滤波器可以应用于每个像素。那么我们如何应用左侧滤波器呢？

Answer 1

  

右侧滤镜可应用于每个像素。那么我们如何应用左侧滤波器呢？

左侧执行卷积作为两步处理*。

1. 使用内核的垂直投影卷积输入图像的每一列以创建中间图像。
2. 使用内核的水平投影卷积中间图像的每一行。

请注意，这些步骤是可交换的（第一行，第二列产生相同的结果）。考虑示例像素：

a b c
d e f
g h i

使用您发布的内核：

    |1|                      |1 2 1|
1/4 |2| * 1/4 [1 2 1] = 1/16 |2 4 2|
    |1|                      |1 2 1|

使用2D内核（右侧），得到的单元格e为：

1/16*(a + 2b + c + 2d + 4e + 2f + g + 2h + i)

使用单独的内核（左侧），通过垂直投影进行第一次处理：

ai bi ci   1/4(2a+d)   1/4(2b+e)   1/4(2c+f)
di ei fi = 1/4(a+2d+g) 1/4(b+2e+h) 1/4(c+2f+i)
gi hi ii   1/4(d+2g)   1/4(e+2h)   1/4(f+2i)

接下来，通过水平投影进行处理......这里只是查看中间单元格的计算（ei）

1/16( 1*di + 2*ei + 1*fi) = 1/16(a + 2b + c + 2d + 4e + 2f + g + 2h + i)

这与2d内核的结果相同。

请注意，公式的左侧和右侧在数学上是相等的 - 左侧表示为两个向量的outer product ...右侧是multiplication的结果剩下。