Question

我在matlab的计算中遇到问题。我知道＆＃34; pi＆＃34;是一个浮动数字并不准确。因此，在matlab sin(pi)中并不完全为零。我的问题是＆＃34; pi＆＃34;并不完全是sin(pi/2)完全等于1的原因。

sin(pi) - ＆gt;因pi而不正确。但 sin(pi/2)完全等于1

我很奇怪和困惑！

Answer 1

我不知道Matlab计算sin(x)的确切方式 - 但你可以通过使用幂级数来计算它，即

。

sin x = x - (x^3)/3! + (x^5)/5! - (x^7)/7! + (x^9)/9! ...

将其转换为一些Matlab代码，我们用以下代码表示：

clc
x = pi;     %  or x = pi/2
res = x;
factor = -1;
for ii=3:2:19
  res = res + factor*power(x,ii)/factorial(ii);
  factor = factor*-1;  
  fprintf ( 'iteration %2i  sin(x)=%1.16f\n', (ii-1)/2, res );
end
res

为x=pi和x=pi/2运行此代码，您可以看到x=pi/2很快收敛（在eps错误中）正确的结果（9次迭代） - 而{x=pi 1}} case不会在同一时间帧内收敛。

有用的是要注意，在9次迭代中，最后一个因子是在factorial（19）中计算的。将在此序列中计算的下一个因子是21.这是由于双精度而可以100％准确度表示的最后一个因子（参见help factorial）。

所以我认为发生的事情是，对于pi / 2，数学解决方案收敛于1，在pi精度比pi精度更快。事实上，由于数学上的限制和可以存储在双精度结果中的精度，pi案例无法完全收敛。

说sin(pi)在eps之内，所以你应该将这个事实用于你的目的。

我复制了下面的结果（R2015b）：

Results for PI/2
iteration  1  sin(x)=0.9248322292886504
iteration  2  sin(x)=1.0045248555348174
iteration  3  sin(x)=0.9998431013994987
iteration  4  sin(x)=1.0000035425842861
iteration  5  sin(x)=0.9999999437410510
iteration  6  sin(x)=1.0000000006627803
iteration  7  sin(x)=0.9999999999939768
iteration  8  sin(x)=1.0000000000000437
iteration  9  sin(x)=1.0000000000000000
Final Result: 1.0000000000000000


Results for PI
iteration  1  sin(x)=-2.0261201264601763
iteration  2  sin(x)=0.5240439134171688
iteration  3  sin(x)=-0.0752206159036231
iteration  4  sin(x)=0.0069252707075051
iteration  5  sin(x)=-0.0004451602382092
iteration  6  sin(x)=0.0000211425675584
iteration  7  sin(x)=-0.0000007727858894
iteration  8  sin(x)=0.0000000224195107
iteration  9  sin(x)=-0.0000000005289183
Final Result: -0.0000000005289183

Answer 2

原因是sin(pi)=0.0，所以每个小错误，无论多小，都与0相比是巨大的，因此是可见的。

不同的是，对于sin(pi/2)=1：如果算法产生的误差小于eps（2.220446e-16左右），则您不会看到此错误，因为1+eps=1。

错误部分是输入不精确（pi值不准确）的结果，部分是计算过程中舍入的结果。人们必须深入研究代码才能做到正确。

另一个重要因素是功能本身。通过查看pi和pi/2的Taylor系列，考虑到错误传播，我们可以看到：

sin(pi+dx)=sin(pi)+cos(pi)dx+o(dx^2)=-dx+o(dx^2)
sin(pi/2+dx)=sin(pi/2)+cos(pi/2)dx+o(dx^2)=1+o(dx^2)

很明显：如果dx约为eps，则由于输入不精确导致的错误大约为eps*eps，因此与1相比不可见。

为什么在matlab中sin（pi）不精确但sin（pi / 2）是精确的？

2 个答案: