Question

我有一个全局坐标系（X，Y，Z）和一个带点（A，B，C和中心）的三角形。我知道那些点的所有坐标。

我需要将全局坐标系从（0; 0; 0）移动到三角形中心，这样所有的点：A，B，C和Center都会有新坐标，其中Z = 0.之后我需要知道与新坐标系的关系中那些点的新坐标。新坐标系的方向并不重要。
此外，如果有可能将3D点（三角形点）转换为2D平面而不会丢失其几何形状（大小）。它不应该是2D平面的投影。

>> A=[10.63307; -7.72528; 21.26636];
B=[4.06139; -12.49988; 21.26636];
C=[-6.57172; -20.22529; 13.14344];
Centr=[-4.38113; -13.48349; 18.55872];

>> V1=(B-A)/(norm(B-A))

V1 =

   -0.8090
   -0.5878
         0

>> V2=((C-A)-(dot((C-A),V1)*V1))/(norm((C-A)-(dot((C-A),V1)*V1)))

V2 =

    0.0000
   -0.0000
   -1.0000

>> V3=cross(V1,V2)

V3 =

    0.5878
   -0.8090
    0.0000

>> M=[V1,V2,V3]

M =

   -0.8090    0.0000    0.5878
   -0.5878   -0.0000   -0.8090
         0   -1.0000    0.0000

>> Anew=inv(M)*(A-Centr)

Anew =

  -15.5313
   -2.7076
    4.1666

>> Bnew=inv(M)*(B-Centr)

Bnew =

   -7.4083
   -2.7076
    4.1666

>> Cnew=inv(M)*(C-Centr)

Cnew =

    5.7350
    5.4153
    4.1666

这就是我得到的： From this

To this

Answer 1

问题可以表示为找到3乘3矩阵M，以便可以在旧坐标系（P，3之间转换点P_old的坐标行）和新的坐标系（P_new，3行）。这是一个仿射变换：

P_old = Center + M * P_new     (1)

使用M的（矩阵向量）乘法将其定向回旧系统，并添加Center的坐标将其转换回旧原点。

然后可以将等式（1）变为：

P_new = M^{-1} * (P_old - Center)     (2)

其中M^{-1}是M的倒数，用于计算旧坐标的新坐标（如果该点属于三角形平面，则第三行将为0）。

矩阵M由旧系统中新基础的坐标构成，每列中有一个基础向量。现在必须找到这样的基础。

这个基础可以从（这是所有伪代码）中获取：

重整归一化AB
```
       AB
V1 = ______
    || AB ||
```
- AB此处为向量AB（顶部带箭头）：
```
|b_x - a_x|
|b_y - a_y|
|b_z - a_z|
```
- || . ||是欧几里德规范（^2表示正方形，而不是 xor ）：
```
|| V || = sqrt(V_x^2 + V_y^2 + V_z^2)
```
AC（也是一个矢量，定义为AB），但减去V1上的投影，使其与V1正交，并重新规范化（此如果三角形实际上不是三角形，则会以零除零失败）：
```
        AC - (AC.V_1) V1
V2 = _______________________
     || AC - (AC.V_1) V1 ||
```
- M.N是标量产品：
```
M.N = M_x * N_x + M_y * N_y + M_z * N_z
```
- (AC.V_1) V1只是标量(AC.V_1)的产物，带有向量，V1

第三个矢量，可以作为交叉乘积来得到笛卡尔坐标系：

V3 = V1 x V2

交叉产品定义为：

          |V1_y*V2_z - V1_z*V2_y|
V1 x V2 = |V1_z*V2_x - V1_x*V2_z|
          |V1_x*V2_y - V1_y*V2_x|

然后M可以被视为|V1 V2 V3|（每个Vx在3行上），然后它的逆计算使用公式（2）。

这种变换（倒M）应该为三角平面上的点生成新坐标，第三轴上有0（这使得它在该平面上具有2D坐标），并保留大小欧几里得规范。

坐标系转换，3d投影到2d平面

1 个答案: