Question

就餐问题：
几个家庭一起出去吃饭。为了增加他们的社交互动，他们想坐在桌子旁，以便同一家庭中没有两个成员在同一张桌子上。假设晚餐队有p个家庭，i家庭有a(i)个成员。另外，假设有q个表可用，j表的容量为b(j)。

问题是： 我们可以坐在桌子上的最大人数是多少？

编辑：创建图表并运行最大流量算法可以解决此问题。但如果我们有D *算法的2 * 10 ^ 3个顶点，则全局复杂度为O（10 ^ 6 * 10 ^ 6）= O（10 ^ 12）。

如果我们只是以贪婪的方式首先坐在较大的群体中。复杂度为O（10 ^ 6）。

所以我的问题是：

1）此问题中的贪婪方法是否有效？

2）解决这个问题的最佳算法是什么？

Answer 1

是的，贪婪地安置最大的家庭是一个正确的解决方案。我们只需要证明，在我们安排下一个最大的家庭之后，有一种方法可以正确地安置剩下的家庭。

假设一个实例是可解的。我们通过归纳证明，在贪心算法占据k个最大家族之后，存在一个解决方案。基础k = 0是显而易见的，因为要证明的假设是存在解决方案。归纳地，假设存在一个扩展贪婪的第一个k - 1家族的部分分配的解决方案。现在，贪婪通过安置k家庭来扩展其部分任务。我们编辑已知的解决方案以恢复归纳假设。

虽然我们仍然可以，但找到一张桌子T1，其中贪婪已经安置了k家庭成员，但已知的解决方案却没有。如果T1处的已知解决方案中有空格，请从贪婪没有的表中移动k家庭成员。否则，已知解决方案的家庭成员不在位于k的{{1}}最大家庭中。由于该家庭小于T1最大的家庭，k最大的家庭成员占据了较小的家庭没有的表k。交换这些成员。

Answer 2

很容易想出这样的座位根本不可能的例子，所以这里有一个伪代码来解决问题，假设问题是可以解决的：

Sort each family i by a(i) in decreasing order
Add each table j to a max-heap with b(j) as the key

For each family i from the sorted list:
    Pop a(i) tables from max-heap
    Add one member of i to each table
    Add each table j back into the max-heap with b(j) = b(j) - 1

让n = a(1) + a(2) + ... + a(p)（即总人数）

假设二进制堆用于最大堆，时间复杂度为：

对家庭进行排序：O(plog(p))
初始化表格的最大堆：O(qlog(q))
所有弹出和推送到/来自max-heap：O(nlog(q))

给出O(plog(p) + qlog(q) + nlog(q))的总时间复杂度，其中O(nlog(q))可能占主导地位。

由于我们正在处理整数，如果我们为最大堆使用1D桶系统，c是最大b(j)，那么我们最终将只使用O(n + c) （假设最大堆操作占主导地位），这可能更快。

最后，请向大卫的答案进行投票，因为证据是必需的并且非常棒。

贪心最大流量

2 个答案: