Question

我们知道背包问题可以通过动态编程以O（nW）复杂度来解决。但我们说这是一个NP完全问题。我觉得这里很难理解。

（n是项目数.W是最大音量。）

Answer 1

O(n*W)看起来像多项式时间，但不，它是pseudo-polynomial。

时间复杂度衡量算法作为其输入的位长的函数所花费的时间。动态编程解决方案的确是线性的W ，但指数的长度为W - 这才是最重要的！

更确切地说，背包问题的动态解决方案的时间复杂度基本上由嵌套循环给出：

// here goes other stuff we don't care about
for (i = 1 to n)
    for (j = 0 to W)
        // here goes other stuff

因此，时间复杂度显然是O(n*W)。

线性增加算法输入的大小是什么意思？这意味着逐渐使用更长的项目数组（所以n，n+1，n+2，...）并逐步延长W（因此，如果W为{ {1}}位长，在一步后我们使用x位，然后x+1位，...）。但是x+2的值随着W指数增长，因此算法不是真正的多项式，它是指数的（但看起来它是多项式的，因此名称：“pseudo -polynomial“）。

进一步参考

Answer 2

在背包0/1问题中，我们需要2个输入（1个数组和1个整数）来解决这个问题：

n 项目数组：[n1，n2，n3，...]，每个项目都有其值索引和权重索引。
整数 W 为最大可接受重量

假设n = 10且W = 8：

n = [n1，n2，n3，...，n10]
W = 1000，二进制术语（4位长）

所以时间复杂度T（n）= O（nW）= O（10 * 8）= O（80）

如果你加倍 n 的大小：

n = [n1，n2，n3，...， n10 ] - ＆gt; n = [n1，n2，n3，...， n20 ]

所以时间复杂度T（n）= O（nW）= O（20 * 8）= O（160）

但是当你加倍W 时，它并不意味着W = 16，但长度将是两倍：

W = 1000 - ＆gt; W = 10000000，二进制项（8位长）

所以T（n）= O（nW）= O（10 * 128）= O（1280）

所需时间以指数词增加，因此它是一个NPC问题。

Answer 3

这完全取决于您在O(...)内放置的参数。

如果目标权重受数量W限制，则问题的复杂性会O(n*W)，如您所述。

但是如果权重太大而你需要复杂度独立于W的算法，那么问题就是NP完全。（O(2^n*n)在最天真的实施中）。

Answer 4

这是因为背包问题有一个伪多项式解决方案，因此被称为 weakly NP-Complete （而不是 > strongly NP-Complete 的）。

Answer 5

输入的大小为权重log(W)位（O(n)为＆＃34;值＆＃34;＆＃34;权重＆＃34;数组）。

因此，权重的输入大小为j = log(W)（而不仅仅是W）。所以，W = 2ʲ（使用二进制）。

最终的复杂性为O(n * W)

此O(n * W)可以重写为O(n * 2ʲ)，其大小与输入的大小成正比。

所以，这个解决方案不是多项式的。

Answer 6

您可以阅读以下简短说明：The NP-Completeness of Knapsack。

Answer 7

要理解NP-completeness，你必须学习一点复杂性理论。然而，基本上，它是NP完全的，因为背包问题的有效算法也是SAT，TSP和其余的有效算法。

如何理解背包问题是NP完全？

7 个答案:

进一步参考