Question

我正在尝试解决TSP (Travelling Salesman Problem)，但不是传统方式。我正在遵循这些步骤。

1）首先，我将TSP更改为 true / false 问题。

此问题的定义现在是：“所有城市的路线是否总距离小于或等于k？”我们假设我有一个算法TSP_tf(k)来解决它。

2）然后我搜索最小 k 。

这是，我搜索“这是最短路线的距离”。

解决它的有效算法将是二分法搜索。我从k=1开始，然后拨打TSP_tf(k)。如果它返回false，我将k乘以2，并继续调用TSP_tf，直到返回true。发生这种情况时，请搜索在k区间内返回true的最小(k/2 - k]，同时使用二分搜索。

然后我会得到最小距离min_k。

3）返回TSP的最短路线，知道距离 min_k 。

这就是我的问题所在。如何解决这个问题的有效算法呢？通过有效我的意思是一个好的方法:)很明显，TSP仍然是NP。

Answer 1

您的TSP_tf通常称为决策问题版本。该问题是NP完整的，请参阅https://en.wikipedia.org/wiki/Travelling_salesman_problem#Computational_complexity进行验证。因此，你不应该希望它会非常容易处理。

也就是说，同样的维基百科文章提供了大量关于在实践中解决TSP问题的有效方法的信息。

Answer 2

我终于设法解决了。

假设我们有一个图表g，它代表TSP的城市及其标题。节点表示一个城市，加权边表示两个城市之间存在连接，并且其权重距离相应。

为了获得距离最短的路线，让我们一对一地删除边缘，看看它们是否是最短路线的一部分。我们怎么知道呢？如果我们从图表中删除边e，并使用已知的最短距离TSP_tf调用min_k，则可能会发生以下两种情况：

TSP_tf(min_k) == false。也就是说，删除e无法获得min_k距离的路线。 e是最短路线的一部分。
TSP_tf(min_k) == true。如果没有连接e，仍然可以获得具有相同最小min_k距离的路线。 e没有参加最短的路线。

如果我们逐步将其应用到图的所有边缘，我们可以获得确切的最短路径（或更好地说，最短路线之一，因为可能有多个解决方案）。

// min_k is the distance of the shortest path of the TSP represented by the graph g.
Graph TSP(Graph g, int min_k)
    Graph shortestPath = g;
    For (Edge e in g)
        // Delete the edge e.
        shortestPath -= e;
        // e is part of the shortest path.
        If (TSP_tf(shortestPath, min_k) == false)
            shortestPath += e;
        EndIf
    EndFor
    Return shortestPath;
EndTSP

众所周知，图表的最大节点数为1/2 * |V| * |V-1|，节点数为|V|。每个节点都会进行TSP_tf次呼叫，因此对TSP_tf的呼叫数量为O(|V|^2)，这是一种有效的算法。

一旦知道最短路线的距离，就解决旅行推销员的问题

2 个答案: