模拟一个弹跳球？

Question

是否可以使用Julia的方程求解器创建一个简单的弹跳球模型？

我从这开始：

using ODE

function bb(t, f)
    (y, v) = f
    dy_dt = v
    dv_dt = -9.81
    [dy_dt, dv_dt]
end

const y0 =  50.0             # height
const v0 =   0.0             # velocity
const startpos = [y0; v0]

ts = 0.0:0.25:10             # time span

t, res = ode45(bb, startpos, ts)

产生有用的数字：

julia> t
44-element Array{Float64,1}:
  0.0
  0.0551392
  0.25
  0.5
  0.75
  1.0
  ⋮
  8.75
  9.0
  9.25
  9.5
  9.75
 10.0

julia> res
44-element Array{Array{Float64,1},1}:
 [50.0,0.0]
 [49.9851,-0.540915]
 [49.6934,-2.4525]
 [48.7738,-4.905]
 [47.2409,-7.3575]
 ⋮
 [-392.676,-93.195]
 [-416.282,-95.6475]
 [-440.5,-98.1]

但不知何故，它需要在高度为0时进行干预，并反转速度。还是我走错了路？

Answer 1

DifferentialEquations.jl offers sophisticated callbacks and event handling。自the DifferentialEquations.jl algorithms are about 10x faster提供higher order interpolation以来，这些算法显然是最好的选择。

第一个链接是显示如何进行事件处理的文档。简单的界面使用宏。我首先定义函数。

f = @ode_def BallBounce begin
  dy =  v
  dv = -g
end g=9.81

我在这里展示ParameterizedFunctions.jl以使语法更好，但您可以将函数直接定义为就地更新f(t,u,du)（如Sundials.jl）。接下来，定义确定事件发生时间的函数。它可以是任何积极的功能，并在事件时间达到零。在这里，我们正在检查球何时击中地面，或者在y=0时检查，所以：

function event_f(t,u) # Event when event_f(t,u,k) == 0
  u[1]
end

接下来，您要说明事件发生时该怎么做。在这里，我们想要反转速度的符号：

function apply_event!(u,cache)
  u[2] = -u[2]
end

您将这些函数放在一起以使用宏构建回调：

callback = @ode_callback begin
  @ode_event event_f apply_event!
end

现在你像往常一样解决。您使用ODEProblem和初始条件定义f，并在时间跨度上调用solve。唯一的补充是你将回调与求解器一起传递：

u0 = [50.0,0.0]
prob = ODEProblem(f,u0)
tspan = [0;15]
sol = solve(prob,tspan,callback=callback)

然后我们可以使用绘图配方自动绘制解决方案：

plot(sol)

结果如下：

这里有一些注意事项：

1. DifferentialEquations.jl将自动使用插值来更安全地检查事件。例如，如果事件发生在时间步长内但不在结束时，DifferentialEquations.jl仍会找到它。可以包含更多或更少的插值点作为@ode_event宏的选项。

2. DifferentialEquations.jl使用rootfinding方法来磨练事件的时刻。即使自适应求解器逐步超过事件，通过在插值上使用rootfinding，它可以找到事件的确切时间，从而获得正确的不连续性。你可以在图表中看到，因为球永远不会消极。

3. 这可以做得更多。 Check out the docs。你可以做任何事情。例如，让ODE在运行中改变大小，以模拟出生和死亡的细胞群。这是其他解决方案包无法做到的事情。

4. 即使具备所有这些功能，速度也不会受到影响。

如果您需要在＆＃34;易用性和＃34;中添加任何额外功能，请告诉我们。接口宏。

Answer 2

有点hacky：

function bb(t, f)
    (y, v) = f
    dy_dt = v
    dv_dt = -9.81*sign(y)
    [dy_dt, dv_dt]
end

你只需按照约定，其中y和-y指的是相同的高度。然后，您可以通过绘制abs（y）来绘制弹跳球的轨迹。