Question

我知道：

现在，根据这些信息，控制点b和c的位置公式是什么？

Answer 1

我知道这个问题已经过时了，但是没有提供正确或完整的答案，所以我想我会提出一个解决方案。请注意，David的计算包含多个错误，即使纠正了这些错误，他的解决方案仍然不完整。

首先，使用三个斜率定义向量T0，T1和T2：

T0 = ( b - a ) / u0
T1 = ( c - b ) / u1
T2 = ( d - c ) / u2

如果我们知道每对控制点之间的方向和距离，那么我们就不需要比例因子u0，u1和u2。由于我们只知道斜率u0，u1和u2是未知的标量。此外，我们假设u0，u1和u2非零，因为定义了斜率。

我们可以用几种不同的方式重写这些方程，以便根据其他控制点获得每个控制点的表达式。例如：

b = a + T0*u0
c = b + T1*u1
d = c + T2*u2

问题还表明我们有三次贝塞尔曲线的“中间点”。我认为这意味着我们在曲线的参数范围的中点处有一个点。我将这一点称为p：

p = ( a + 3*b + 3*c + d ) / 8

在左侧用未知数重写产生：

b + c = ( 8*p - a - d ) / 3

我们现在可以使用前面的表达式以各种方式替换b和c。事实证明，当我们有并行向量T0，T1或T2时会出现歧义。有四种情况需要考虑。

案例1：T0与T1不平行

替换b = a + T0*u0和c = a + T0*u0 + T1*u1并解决u0和u1：

2*T0*u0 + T1*u1 = ( 8*p - 7*a - d ) / 3

这是两个方程式和两个未知数，因为T0和T1是向量。将u0和u1替换回b = a + T0*u0和c = a + T0*u0 + T1*u1以获取缺失的控制点b和c。

案例2：T1与T2不一致

替换c = d - T2*u2和b = d - T2*u2 - T1*u1并解决u1和u2：

T1*u1 + 2*T2*u2 = ( a + 7*d - 8*p ) / 3

案例3：T0与T2不一致

替换b = a + T0*u0和c = d - T2*u2并解决u0和u2：

T0*u0 - T2*u2 = ( 8*p - 4*a - 4*d ) / 3

案例4：T0，T1和T2都是平行的

在这种情况下，a，b，c和d都是共线的T0，T1和T2都等于比例因子。没有足够的信息来获得独特的解决方案。一个简单的解决方案是通过设置b：

来选择u0 = 1

b = a + T0
(a + T0) + c = ( 8*p - a - d ) / 3
c = ( 8*p - 4*a - d - 3*T0 ) / 3

存在无数解决方案。实质上，选择b定义c或选择c将定义b。

扩展为3D

问题是关于平面Bezier曲线，但我认为有趣的是，当将此问题扩展到非平面3D三次Bezier曲线时，点p不是必需的。在这种情况下，我们可以简单地为u0，u1和u2解决这个等式：

T0*u0 + T1*u1 + T2*u2 = d - a

这是三个方程（向量是3D）和三个未知数（u0，u1和u2）。替换为b = a + T0*u0和c = b + T1*u1或c = d - T2*u2会产生b和c。

Answer 2

让我们说你的斜率是标准化的，然后对于某些人，你有

u * slope(a->b)+a = b, v * slope(c->d)+d = c

你知道a，d和q:=(a+b+c+d)/8的值（曲线的中间点）所以c = 8(q-a-d-b)

在你得到的最后一个方法中插入上述等式

v * slope(c->d)+d = 8(q-a-d-a-u * slope(a->b))

是两个变量（u，v）

中的2个方程（2d矢量方程）

您不需要第三个坡度。