使用限制方法证明函数是大的

Question

您好我面临的问题是证明某个函数是一个大元素的元素。问题如下：是4n ^ 3 + 23n ^ 2 + 1（是元素）Theta（n ^ 3），并证明你的答案。我的答案如下： 基本上我证明它是在大哦和大欧米茄，如果是这样，它是在大theta。它是否正确？另外，使用限制来证明给定函数在big theta中的最佳方法是什么？

Answer 1

为了表明f(n) = 4n^3 + 23n^2 - 1属于Theta(n^3)，您必须将其绑定在k1.n^3和k2.n^3之间，以获得一些正常数k1和{{} 1}}当k2足够大时（意味着n为某个常数n >= n0）

让我们在没有限制的情况下看到这一点。

无限制

鉴于此

n0

对于所有1 < 23n^2 ，我们得到

n >= 1

因此

0 < 23n^2 - 1

因此，您可以4n^3 = 4n^3 + 0 < 4n^3 + 23n^2 - 1 。

现在是上限。

k1 = 4

您可以4n^3 + 23n^2 - 1 < 4n^3 + 23n^2 < 23n^3 + 23n^2 <= 23n^3 + 23n^3 = 46n^3 和k2 = 46。

有限制

n0 = 1

因此，鉴于lim f(n)/n^3 = lim 4 + 23/n - 1/n^3 = 4 ，epsilon > 0存在

n0

代表| f(n)/n^3 - 4 | < epsilon 。拿n >= n0。我们得到

epsilon = 1

或

-1 < f(n)/n^3 - 4 < 1

或

3 < f(n)/n^3 < 5

您可以3n^3 < f(n) < 5n^3 ，k1=3以及k2=5存在的n0值。

Answer 2

在Big-Omega的计算中，您需要找到函数的极限除以n ³ （这与您所做的相反）。因为它等于4（显然小于无穷大），所以你的函数属于Omega（n ³ ）。