确定这些不同循环的大O运行时间？

Question

确定这些不同循环的大O运行时间？

for i = 1 to n {
  ...
  for  j = 1 to 2*i {
    ...
    k = j;
    while (k>=0) {
      ...
      k = k-1;
    }
  }
}

我发现答案是O（n ^ 3）因为三个循环互相嵌套，我的答案是否正确？

Answer 1

这是一种启发式方法，但这种启发式方法可能会让您误入歧途。可以找到内循环数的确切公式。

对于每个j，k从j向下运行到0（含），因此内循环运行j + 1次。

对于每个i，j从1到2 * i运行，因此对于i = 1，内循环运行1 + 1和2 + 1次，然后对于i = 2运行3 + 1和4 + 1次，等等。我希望你能看到，对于每一个我，内环比第（2i + 1）个三角数少一个。第n triangular number次为n（n + 1）/ 2，因此对于每个我，我们得到的计数

(2i+1)(2i+1+1)/2 - 1

简化为

2 * i**2 + 3 * i

对于每个n，我从1到n运行，所以我们只将从1到n的最后一个表达式求和。这给了我们前n个平方数加上三次n次三角数的两倍。 the sum of the first n square numbers的公式是

n**3/3 + n**2/2 + n/6

所以我们简化

2*(n**3/3 + n**2/2 + n/6) + 3*(n*(n+1)/2)

我们得到了

2/3 * n**3 + 5/2 * n**2 + 11/6 * n

这显然是O（n ** 3），所以你的启发式是正确的。

我用一些简单的Python代码检查了最后的表达式。