Question

简要说明：

爱丽丝和鲍勃试图在不想要夏娃（正在倾听）的情况下进行交流，以了解他们将要谈论的内容。

所以

               Bad Eve
                  |
                  |
Alice ------------+--------------- Bob

Alice和Bob公开同意质数和生成器。

说

Generator = 3
Prime = 17

所以公式将是（例如）：

3^x % 17

行。

Alice选择私人号码（比如 15 ）并执行3^15 %17 => 6
Bob正在选择私人号码（比如 13 ）并执行3^13 %17 => 12

现在，当Eve正在聆听时，Alice和Bob告诉对方他们的结果（不是他们的私钥）。

现在的情况是：

                Bad Eve ( knows : 3^x %17 , 12,6)
                   |
                   |
 Alice ------------+--------------- Bob  
 (15)private                       (13)private 
  12(Bob's)                        6(Eve's)

现在，爱丽丝接受了鲍勃的12和她的私钥并且做了：

((other's public num) ^ secret number) % 17

Alice正在做：12^15 % 17 => 10

Bob正在做：6^13 % 17 => 10

所以现在它们具有相同的对称数字。

立即

这是一个例子，很容易入侵。

所有Eve必须做的是尝试找出x 3^x % 17或15中的13。

但显然我们在这里谈论大数字。

如果是这样 - 我写了这个演示：

Console.WriteLine(BigInteger.Pow( new BigInteger(3213213213212123332), 6549875) % 17);

这是：

3213213213212123332 ^ 6549875 % 17

我有16g内存的I7，这个时间超过5分钟

问题：

如果双方（Alice＆amp; Bob）使用大数字，那么他们需要很长时间才能获得第一步的结果（之后他们应该交换该值）

我可能会在这里遗漏一些东西，但似乎通过使用大数字让夏娃的生活变得艰难，也让爱丽丝和鲍勃的生活变得艰难。

我错过了什么？

Answer 1

您遗失的内容称为 modular exponentiation 。这是计算模数值的巨大指数的快速方法。

例如，假设您要计算（123 ^ 456）mod 777。

如果先执行取幂，则会得到大约1000位数的结果。对于DH密钥交换中通常使用的值，您最终可能会使用更多数字，甚至数百万。这显然没有效率。

模幂运算将问题分解为更简单的步骤。有两种数学身份使这成为可能：

（x ^ a）×（x ^ b）= x ^（a + b），和

（x ^ y）mod n =（（x mod n）^ y）mod n

证明：

其中第一个应该是不言而喻的。第二个可以证明如下：

如果x mod n == z，则对于c的某个整数值，x等于（c×n + z）。（c×n + z）^ y的二项式展开具有（y + 1）项

c ^ y×n ^ y + k1×c ^（y-1）×n ^（y-1）.z + k2×c ^（y-2）×n ^（y-2）×z ^ 2 + ... + k（y-1）c×n×z ^（y-1）+ z ^ y

（其中k1 ... k（y-1）是binomial coefficients）

所有这些术语除了最后一个（z ^ y）是n的倍数，因此等于零（mod n）。因此（x ^ y）mod n ==（z ^ y）mod n ==（（x mod n）^ y）mod n。

模幂运算算法：

要计算（x ^ y）mod n，重复乘以x以获得以下序列：

X0 = x mod n
  X1 = X0×X0 mod n = x ^ 2 mod n
  X2 = X1×X1 mod n = x ^ 4 mod n
  X3 = X2×X2 mod n = x ^ 8 mod n
  X4 = X3×X3 mod n = x ^ 16 mod n

现在将本系列中与y的二进制表示中的设置位相对应的项相乘。例如，假设y = 21：

（x ^ 21）mod n =（（x ^ 16）×（x ^ 4）×x）mod n =（X4 * X2 * X0）mod n

以这种方式进行计算有两个好处。首先，您必须计算的最大数字最多只能是模数n的两倍。其次，您必须执行的计算次数与指数的（基数2）对数成正比，这意味着对于像6549875这样的指数，计算速度将快上百万倍。

Diffie-Hellman密钥交换 - 澄清？

1 个答案:

证明：

模幂运算算法：