Question

我一直试图理解雅可比行列式。我希望有人能给我一个指针。

我在互联网上发现的大多数材料都没有提供雅可比行列式的推导。

一个这样的网站是： http://tutorial.math.lamar.edu （其中我发现相当不错。）

我花了很多时间试图加深对...的理解雅可比行列式。

我玩转换定义了uv轴和如何在区域/区域上集成功能与转型。

例如，当我开始使用简单的转换：

u = ( x - y )/√2
v = ( x + y )/2√2

这是uv轴从笛卡尔xy轴旋转-45°，并且v轴为刻度的2倍，也就是说，v = 1在xy-coords中映射到2个单位长度。

所以，我说uscale = 1，vscale = 2，对于上述转换。

使用这个uv轴，我可以简化10x20矩形区域从x轴旋转45°，使得较长的尺寸指向与x轴成45°的角度。

通过这些例子，我开始发展直觉雅可比行列式如何运作。

我理解雅可比行列式是一个缩放因子将uv轴的面积测量值转换为xy维度。

uv轴的面积测量简单地通过公式给出 ΔuxΔv，其中Δu= 10，Δv= 10，因为vscale = 2）。

雅可比行列式比例因子= uscale x vscale （非常直观地）。

xy维度的面积=ΔuxΔvx（uscale x vscale） = 10 x 10 x 1 x 2 = 200。

在这样一个更简单的紫外广场上集成音量，可能比在同一个xy区域更容易，出现在一个角度。

通过上述初步了解，我试图找出雅可比行列式的推导方法。

从上述转换公式中得出：

dx/du = √2 / 2
dx/dv = √2
dy/du = -√2 / 2
dy/dv = √2

我也可以从Geometry派生出来：

dx/du = uscale cos Θ
dy/du = uscale sin Θ
dx/dv = vscale cos (90° - Θ)
dy/dv = vscale sin (90° - Θ)

我可以得到：

areaInXY / areaInUV = uscale x vscale

符合我的理解。

然而，雅可比行列式公式为：

∂(x, y) / ∂(u, v) = ∂x/∂u ∂y/∂v - ∂x/∂v ∂y/∂u
  = uscale * vscale * cos 2Θ

这让我很困惑为什么我有额外的cos2θ因子这没有直觉意义 - 为什么会这样面积缩放因子取决于矩形的旋转方式因此uv轴如何旋转？！

任何人都可以看到我的推理在哪里出错？

Answer 1

让我试着解释一下Jacobian行列式基本上是什么。对于从R ^ n到R ^ n的平滑函数映射，这通常是正确的，但是为了简单起见，假设我们正在研究R ^ 2。设F（x，y）是平滑的R ^ 2到R ^ 2的函数。然后我们可以说F（x，y）将x坐标发送到f1（x，y）并且y在坐标（x，y）处与f2（x，y）坐标。然后考虑由点（x，y），（x + dx，y），（x，y + dy）和（x + dx，y + dy）定义的无穷小矩形区域。现在，这个无穷小矩形的面积是dxdy。当这个矩形通过F（x，y）变换时会发生什么？我们将F（x，y）应用于四个坐标中的每一个，并获得以下几点：

A:(x,y)->(f1(x,y),f2(x,y))
B:(x+dx,y) -> (f1(x+dx,y),f2(x+dx,y)) (approx.)= (f1(x,y) + (∂f1/∂x)dx,f2(x,y) + (∂f2/∂x)dx)
C:(x,y+dy) -> (f1(x,y+dy),f2(x,y+dy)) (approx.)= (f1(x,y) + (∂f1/∂y)dy,f2(x,y) + (∂f2/∂y)dy)
D:(x+dx,y+dy) -> (f1(x+dx,y+dy),f2(x+dx,y+dy)) (approx.)=(f1(x,y) + (∂f1/∂x)dx + (∂f1/∂y)dy,f2(x,y) + (∂f2/∂x)dx + (∂f2/∂y)dy)

等式大致相等并且恰好保持在dx和dy变为0的极限中，它们是新点处函数F的最佳线性近似。（我们从函数f1和f2的泰勒近似的第一阶部分得到这些。）

如果我们查看变换F（x，y）下的新（近似）区域，我们会看到变换点a之间的新距离向量：

B-A:((∂f1/∂x)dx,(∂f2/∂x)dx)
C-A:((∂f1/∂y)dy,(∂f2/∂y)dy)
D-C:((∂f1/∂x)dx,(∂f2/∂x)dx)
D-B:((∂f1/∂y)dy,(∂f2/∂y)dy)

如您所见，新变换的无穷小区域是平行四边形。让：

u=((∂f1/∂x)dx,(∂f2/∂x)dx)
v=((∂f1/∂y)dy,(∂f2/∂y)dy)

这些矢量构成了我们平行四边形的边缘。借助于u和v之间的叉积，可以显示平行四边形的面积为：

area^2 = (u1v2 - u2v1)^2 = ((∂f1/∂x)(∂f2/∂y)dxdy - (∂f2/∂x)(∂f1/∂y)dxdy)^2
area^2 = ((∂f1/∂x)(∂f2/∂y) - (∂f2/∂x)(∂f1/∂y))^2 (dxdy)^2
area = |(∂f1/∂x)(∂f2/∂y) - (∂f2/∂x)(∂f1/∂y)|dxdy (dx and dy are positive)
area = |det([∂f1/∂x, ∂f1/∂y],[∂f2/∂x, ∂f2/∂y])|dxdy

因此，我们将采用决定因素的矩阵就是雅可比矩阵。正如我在开头所说的那样，这个推导可以扩展到n的任意维度，因为坐标变换函数F是平滑的，雅可比矩阵因此是可逆的，具有非零行列式。

在http://mathinsight.org/double_integral_change_variables_introduction

上给出了一个很好的视觉解释

理解＆amp;导出雅可比行列式比例因子

1 个答案: