Question

在尝试通过归纳来证明关于延续传递风格的函数的引理时，我遇到了自由类型变量的问题。在我的归纳假设中，continuation是原理图变量，但其类型涉及 free 类型变量。因此，当我尝试应用i.h时，Isabelle无法将类型变量与具体类型统一起来。我已经做了这个最小的例子：

SORTKEY

在＆＃34;抱歉步骤＆＃34;中，原理图变量fun add_k :: "nat ⇒ nat ⇒ (nat ⇒ 'a) ⇒ 'a" where "add_k 0 m k = k m" | "add_k (Suc n) m k = add_k n m (λn'. k (Suc n'))" lemma add_k_cps: "∀k. add_k n m k = k (add_k n m id)" proof(rule, induction n) case 0 show ?case by simp next case (Suc n) have "add_k (Suc n) m k = add_k n m (λn'. k (Suc n'))" by simp also have "… = k (Suc (add_k n m id))" using Suc[where k="(λn'. k (Suc n'))"] by metis also have "… = k (add_k n m (λn'. Suc n'))" using Suc[where k="(λn'. Suc n')"] sorry (* Type unification failed *) also have "… = k (add_k (Suc n) m id)" by simp finally show ?case . qed的显式实例化失败，

?k

因为Type unification failed Failed to meet type constraint: Term: Suc :: nat ⇒ nat Type: nat ⇒ 'a是免费的而不是原理图。没有实例化，简化器无论如何都会失败，我找不到其他可行的方法。

由于我无法对类型进行量化，因此我不知道如何在证明中制作'a示意图。当一个术语变量在一个证明中局部地变成示意图时，为什么这种情况的变量也不是这种情况呢？在引理被证明之后，它们无论如何都成为理论层面的示意图。这看起来很有限。可以在将来实施这样做的选项还是存在一些固有的限制？或者，有没有一种方法可以避免这个问题，并且仍然在已证明的引理中保持连续性的示意性多态？

Answer 1

这是HOL中感应如何工作的固有限制。归纳是HOL的一个规则，因此不可能在归纳假设中概括任何类型。

针对您的问题的专业解决方案是首先证明

lemma add_k_cps_nat: "add_k n m k = k (n + m)"
  by (induction n arbitrary: m k) auto

然后证明add_k_cps。

一般方法是：首先证明固定类型的实例，感应起作用。在示例中，是nat的归纳。然后得出一个在类型本身中推广的证明。

Answer 2

当定理从已修复类型变量的块导出时，自由类型变量在定理中成为示意图。特别是，您无法量化块中的类型变量，然后在块中实例化类型变量，就像您在归纳中尝试的那样。对类型的任意量化导致HOL不一致，因此几乎没有希望可以改变它。

幸运的是，有一种方法可以在没有类型量化的情况下证明您的CPS风格的引理。问题是你的陈述不够通用，因为它包含id。如果你推广它，那么证明就可以了：

lemma add_k_cps: "add_k n m (k ∘ f) = k (add_k n m f)"
proof(induction n arbitrary: f)
  case 0  show ?case by simp
next
  case (Suc n)
  have "add_k (Suc n) m (k ∘ f) = add_k n m (k ∘ (λn'. f (Suc n')))" by(simp add: o_def)
  also have "… = k (add_k n m (λn'. f (Suc n')))" 
    using Suc.IH[where f="(λn'. f (Suc n'))"] by metis
  also have "… = k (add_k (Suc n) m f)" by simp
  finally show ?case .
qed

如果选择f = id，则会得到原始定理。

归纳证明中的自由类型变量

2 个答案: