给定平面中的一些点（高达500点），没有3个共线。我们必须确定顶点来自给定点并且其中包含正好N个点的三角形的数量。如何有效地解决这个问题？天真的O（n ^ 4）算法太慢了。有更好的方法吗？
答案 0 :(得分：2)
您可以尝试将三角形视为三个半空间的交集。为了找到三角形A，B，C内的点数，首先考虑AB方向上无限线一侧的点集。让这些设置L（AB）和R（AB）用于左和右的点。类似地，与其他两个边相同，构建集L（AC）和R（AC）并设置L（BC）和R（BC）。
因此，ABC中的点数将是L（AB），L（AC）和L（BC）交点中的点数。 （您可能需要考虑R（AB），具体取决于三角形的方向。）
现在，如果我们想要考虑全套500分。首先取所有点对AB并构建集合L（AB）和R（AB）。这将需要O（n ^ 3）次操作。
接下来，我们测试所有三角形并找到三组的交叉点。如果我们为集合使用一些哈希表结构，那么找到交集点就像一个哈希表查找。如果L（AB）具有l个元素，则L（AC）具有m个元素和L（BC）n个元素。说l＆gt; m> ñ。对于L（BC）中的每个点，我们需要在L（AC）和L（BC）中进行查找，以便最多进行2n个哈希表查找。
考虑几何查找表可能会更快。 将整个域划分为粗网格，例如10乘10格。然后我们可以将每个点放入集合G（i，j）中。然后我们可以将集合L（AB）分成每个网格单元。比如称这些集合为L（AB，i，j）和R（AB，i，j）。在测试交叉口时，首先锻炼网格单元位于交叉点。这大大减少了搜索空间，并且由于每个集合L（AB，i，j）包含的成员较少，因此散列表查找次数会减少。
答案 1 :(得分：1)
实际上我最近遇到了类似的问题，但唯一的区别是有大约300分，我用bitset（C ++ STL）解决了它。对于每对点，比如说（x [i]，y [i]）和（x [j]，y [j]），我形成了一个bitset＆lt; 302＆gt; B [i] [j]和B [i] [j] [k]如果第k个点位于从第i点到第j点的线段之上，则存储1，否则我将存储0。
现在以蛮力的方式我得到三个点以便形成一个三角形，让我们说（x [i]，y [i]），（x [j]，y [j]）和（x [k ]，y [k]），那么如果B [i] [j] [z] == B [i] [j] [k]＆amp;＆amp;并且一个点，比如z点，将在三角形内。 B [j] [k] [z] == B [j] [k] [i]＆amp;＆amp; B [k] [i] [z] == B [k] [i] [j]因为三角形内的点会显示相似的符号w.r.t.三角形的一边作为三角形的第三个点（一个不在这一边）。 所以我得到三个bitset变量P = B [i] [j]，Q = B [j] [k]和R = B [k] [i]并且在那里采用按位AND然后应用count（）函数给我有效位数，因此三角形内的点数。但是请确保你改变变量P，使得它给出B [i] [j] [k] = 1，如果不是，那么取这个变量的按位（＃）。
虽然上述解决方案是特定于问题的，但我希望它有所帮助。这是问题链接：http://usaco.org/current/index.php?page=viewproblem&cpid=660