将最小的浮点数添加到浮点数

Question

我想将float的最小可能值添加到float中。因此，例如，我尝试这样做以获得1.0 +可能的最小浮点数：

float result = 1.0f + std::numeric_limits<float>::min();

但在这之后，我得到以下结果：

(result > 1.0f) == false
(result == 1.0f) == true

我正在使用Visual Studio 2015.为什么会这样？我该怎么做才能解决它？

Answer 1

如果您希望在1之后显示下一个可表示的值，则<cmath>标题中有一个名为std::nextafter的函数。

float result = std::nextafter(1.0f, 2.0f);

它从第二个参数方向的第一个参数开始返回下一个可表示的值。因此，如果您想要找到低于1的下一个值，您可以这样做：

float result = std::nextafter(1.0f, 0.0f);

将最小的正可表示值添加到1不起作用，因为1和下一个可表示值之间的差值大于0和下一个可表示值之间的差值。

Answer 2

您正在观察的“问题”是因为浮点运算的非常本质。

在FP中，精度取决于比例;在值1.0附近，精度不足以区分1.0和1.0+min_representable，其中min_representable是大于零的最小可能值（即使我们只考虑最小的归一化数，std::numeric_limits<float>::min() ...最小的非正规数是另外几个数量级的小数。）

例如，对于双精度64位IEEE754浮点数，在x=10000000000000000（10 ¹⁶ ）的范围内，无法区分x和{{ 1}}。

分辨率随着比例变化的事实是名称“浮点”的原因，因为小数点“浮动”。相反，定点表示将具有固定的分辨率（例如，在单位以下具有16位二进制数字，精度为1/65536~0.00001）。

例如，在IEEE754 32位浮点格式中，符号有一位，指数有8位，尾数有31位：

最小值x+1，eps可用作预定义常量1.0f + eps != 1.0f或std::numeric_limits<float>::epsilon。另请参阅machine epsilon on Wikipedia，其中讨论了epsilon如何与舍入错误相关。

即。 epsilon是执行此处所期望的最小值，在添加到1.0时会有所不同。

更常见的版本（对于1.0以外的数字）在最后一个位置（尾数）称为1个单位。请参阅维基百科的ULP article。

Answer 3

min是（标准化形式）浮点数可以假设的最小非零值，即大约2 ^-126 （-126是浮点数的最小允许指数） ）;现在，如果你把它加到1，你仍然会得到1，因为float只有23位的尾数，所以这么小的变化不能用这么大的数字表示（你需要126比特尾数，看到一个变化，将2 ^-126 加到1）。

最小可能的更改为1，而不是epsilon（所谓的机器epsilon），实际上是2 ^-23 - 因为它会影响最后一位尾数。

Answer 4

要以尽可能小的数量增加/减少浮点值，请使用nextafter朝+/- infinity()。

如果您只使用next_after(x,std::numeric_limits::max())，则x无效的结果是错误的。

#include <iostream>
#include <limits>
#include <cmath>

template<typename T>
T next_above(const T& v){
    return std::nextafter(v,std::numeric_limits<T>::infinity()) ;
}
template<typename T>
T next_below(const T& v){
    return std::nextafter(v,-std::numeric_limits<T>::infinity()) ;
}

int main(){
  std::cout << "eps   : "<<std::numeric_limits<double>::epsilon()<< std::endl; // gives eps

  std::cout << "after : "<<next_above(1.0) - 1.0<< std::endl; // gives eps (the definition of eps)
  std::cout << "below : "<<next_below(1.0) - 1.0<< std::endl; // gives -eps/2

  // Note: this is what next_above does:
  std::cout << std::nextafter(std::numeric_limits<double>::infinity(),
     std::numeric_limits<double>::infinity()) << std::endl; // gives inf

  // while this is probably not what you need:
  std::cout << std::nextafter(std::numeric_limits<double>::infinity(),
     std::numeric_limits<double>::max()) << std::endl; // gives 1.79769e+308

}