Question

我经常需要检查是否expr1==expr2，检查符号相等是否很难，但数字检查就足够了

为了处理这种情况，让TildeTilde像Equal一样工作是很好的，但不是检查符号相等，而是用数值替换未知数，并在几个点检查数字相等。

未知数是表达式中“看起来像”变量的东西。我能想到的是x，x[1,2]和Subscript[x,2,3]。欢迎任何提示！

修改

通常我会做类似下面的事情，但它需要指定变量，有时需要更改Chop容差，而“10个样本”似乎是任意的。理想的测试人员将是一个像Equals一样工作的函数，并保证有意义的False答案。（以补充Equals具有有意义的True答案）

approxEqual[expr1_, expr2_, vars_] := 
  Chop[(expr1 - expr2 /. Thread[vars -> #]) & /@ 
     RandomReal[{-1, 1}, {10, Length[vars]}]] == Table[0, {10}];
expr1 = 1/Sqrt[2] Log[Cosh[q + x/Sqrt[2]] Sech[q - x/Sqrt[2]]];
expr2 = Sqrt[2] ArcTanh[Tanh[q] Tanh[x/Sqrt[2]]];
approxEqual[expr1, expr2, {q, x}]

作为附注，显然Maple使用this算法进行此类等式测试

Answer 1

如果您使用FindMaximum作为起点，这有点简单：

In[64]:= FindMaximum[expr1 - expr2, q, x]

During evaluation of In[64]:= FindMaximum::fmgz: Encountered a gradient that
is effectively zero. The result returned may not be a maximum; it may be a 
minimum or a saddle point. >>

Out[64]= {1.11022*10^-16, {q -> 1., x -> 1.}}

因此：

approxEqual[lhs_, rhs_, tol_: 10^-10] :=
 Module[{vars},
  vars = DeleteDuplicates[
    Cases[{lhs,rhs}, s_Symbol /; Not[ValueQ[s]], Infinity]
  ];
  Chop[
    First[
     Quiet[FindMaximum[Abs[lhs - rhs], Evaluate[Sequence @@ vars]]]
    ], 
    tol] == 0
  ]

In[65]:= approxEqual[expr1, expr2]
Out[65]= True

In[66]:= approxEqual[expr1, expr2, 10^-20]
Out[66]= False

显然，一般情况下，这可能会遇到各种数字错误问题，您可以使用AccuracyGoal / PrecisionGoal / WorkingPrecision /等选项来解决FindMaximum。您还可以为变量的多个起点重复FindMaximum。

顺便说一句，请注意TildeTilde（即~~）是StringExpression的中缀运算符。

HTH！

Answer 2

我真的认为指定要替换的符号的模式和范围是值得的。下面的代码是我使用了一段时间的相等测试生成器的抛光版本我对此的看法是让numEqual=MakeEqualityTest[...]生成一个相等的测试，然后您可以应用于lhs ~numEqual~rhs或您喜欢的任何内容。你的问题是一个很好的机会来完善我的一些代码，最后它太大了，不适合这里，所以我把它放在github（链接直接可浏览的代码）。

主要特点：

使用Michael的深度优先Cases技巧获得合理的自动模式
使用Norm[#1-#2]&作为距离测试来处理向量，矩阵等。
采样点的数量取决于独立变量的数量。
用于指定分布的灵活系统（例如，您可以用复数或矩阵替换符号）。

使用示例：

numeq=MakeEqualityTester[];
(Cos[x]^2+Sin[x]^2)~numeq~1
Sqrt[x^2]~numeq~x

Out[5]= True
During evaluation of In[4]:= EqualityTest::notEqual: The expressions Sqrt[x^2] and x were not equal at the following point:
Out[6]= {x->-0.352399}

您也可以通过效用函数直接致电：

EqualityTest[1,Cos[x]^2+Sin[x]^2]
Out[7]= True

以下是特殊符号和分布的示例：

poseq=MakeEqualityTester[{
    Subscript[y,_]:>RandomReal[{10,11}],
    Automatic 
  },Tolerance-> 10^(-5)];
x ~poseq~ Sqrt[x^2]
Subscript[y,1] ~poseq~ Sqrt[Subscript[y,1]^2]

During evaluation of In[18]:= EqualityTest::notEqual: The expressions x and Sqrt[x^2] were not equal at the following point:
Out[19]= {x->-0.272029}
Out[20]= True

Mathematica中近似等式测试的运算符

2 个答案: