给定序列Y作为输入，选择序列X，使得C的值最大

Question

给定两个整数序列X = (x1, x2, . . . , xn)和Y = (y1, y2, . . . , yn)，1 ≤ xi ≤ yi为所有1 ≤ i ≤ n。

让C = Summation(from i=2 to n) |xi − xi-1|

如果输入序列Y，我必须选择最大化X的序列C。

这是我试过的：

我很容易发现，Summation(i=2 to n) | xi - xi-1 |对xi = yi中的所有xi = 1来说i或n最大为$input。

但我不知道如何以数学方式表示它。

Answer 1

| Xi-Xi-1 |在Xi=MAX(Yi)和Xi-1=MIN(Yi)或Xi=MIN(Yi)和Xi-1=MAX(Yi)时最大化。

因此，如果1 ≤ xi ≤ yi for all 1 ≤ i ≤ n. (A)不成立，则X序列将为：

X = MAX(yi), MIN(yi), MAX(yi), MIN(yi).... 

或

X =  MIN(yi), MAX(yi), MIN(yi), MAX(Yi).... 

现在，因为我们需要完成(A)，所以上述序列转换为：

MAX(yi) -> MAX(Yi) such that MAX(Yi)<=Yi <=> MAX(Yi)=Yi
MIN(Yi) -> MIN(Yi) such that MIN(Yi)<=Yi <=> MIN(Yi)=1

因此，总之，X序列是：

X = 1, Y2, 1, Y4.... 

或

X = Y1, 1, Y3, 1 ...

计算上述两者的Sum(|Xi-Xi-1|)将为您提供结果。

修改 正如您正确观察到的，每个Xi将是Yi或1.这意味着，对于给定的长度为N的Y序列，有效X序列的数量是2 ^ N.因此，一个简单的（蛮力，当然不是最优的）算法将是创建所有这些序列，计算相应的总和，并采用Sum最大的那个。

Answer 2

正如您所正确观察到的，对于每个i，只有两个选项：xi = 1或xi = yi。但是，这仍然会使2n序列留给蛮力。

幸运的是我们可以做得更好。我们可以循环索引并跟踪两个最大值：

• xi = 1给出的最大金额，让我们称之为maxLow，
• xi = yi给出的最大金额，让我们称之为maxHigh

最后我们只需要取这两个中的最大值。

现在我们只需要一种更新这两个最大总和的方法，但这很简单。有4个案例：

1. 代表xi-1 = 1和xi = 1：maxLow = maxLow + |1 - 1|
2. 代表xi-1 = yi-1和xi = 1：maxLow = maxHigh + |1 - yi-1|
3. 代表xi-1 = 1和xi = yi：maxHigh = maxLow + |yi - 1|
4. 代表xi-1 = yi-1和xi = yi：maxHigh = maxHigh + |yi - yi-1|

在代码中：

maxLow = 0
maxHigh = 0

for i = 2; i <= n; i++ {
    maxLow = max(maxLow, maxHigh + Y[i-1] - 1)
    maxHigh = max(maxLow + Y[i] - 1, maxHigh + abs(Y[i] - Y[i-1]))
}

result = max(maxLow, maxHigh)

这显然可以在O(n)时间内完成。