Question

我有一系列正数x_1，x_2，... x_n，我想找到一个连续的子序列，其中：0＆lt; x_i-x_j＆lt; i-j，1＆lt; = j＆lt; i＆lt; = n适用于所有i，j。将S（t）定义为以x_t ..

结尾的最长连续序列的长度

e.g。如果 S（t）= 3则上述情况适用于x_t，x_ {t-1}，x_ {t-2}

我试图找到一个递归公式，我完全被卡住了。为了找到一些模式，我尝试用数字玩一下：

S（5）= 2意味着S（5）= 2 + S（4）和S（4）必须是$ 0 $。但是那么S（3）可能是1所以我们必须尽快停止我们发现S（4）= 0

基本情况或特殊情况S（0）= 0，S（1）= 0？

是否可以用S（k-1）来写S（k）？

我正在尝试为此构建一个算法，但首先我需要找出一个递归公式。

Answer 1

S（0）= 0
如果（x_n＆lt; = x_ {n-1}或x_n-x_ {n-1}＆gt; = 1）=＆gt; S（n）= 0
否则如果S（n-1）= 0 =＆gt; S（n）= 2
否则S（n）= S（n-1）+ 1

Answer 2

由于比较运算符的简单关系，在此问题中不需要动态编程或递归：它是可传递的。这意味着：

a < b and b < c => a < c

我们可以稍微改变上面的不等式：

x_i - x_j < i - j
x_i - i < x_j - j

这使整个问题变得更加简单：
定义序列y，其中y_i = x_i - i。找到以y_t结尾的最长严格递减序列。

由于严格递减序列中的传递性，您的条件始终成立，反之亦然。事实上，在这种情况下，这两个约束是等价的，因为不存在既减少又不违反序列约束的约束。因此，在这种情况下根本不需要递归，因为线性关系是完全足够的（传递性）。

当然，您可以将第一个非递减对的搜索转换为递归函数（尽管它比仅使用线性路径更复杂）：

S(t) = {t = 0:                             0
        t = 1:                             1
        {x_t - t >= x_{t-1} - (t - 1)}:    1
        else:                              1 + S(t - 1)}

具有约束的数字序列

2 个答案: