Question

我目前正处于＆＃34;软件基金会的第5章＆＃34;但我觉得有必要回到第一章来澄清一些事情。特别是有一个我没有完全消化的练习，其中我们被要求使用两次破坏来证明布尔值的结果。这里改变了名称和其他细节。

Inductive bool: Type :=
|true: bool
|false: bool.

Definition fb (b1:bool) (b2:bool) : bool :=
match b1, b2 with
| false, false => false
| _, _ => true
end.

Theorem th: forall a b: bool,
  fb a b = false -> b = false.
Proof.
intros [] [] H.
- rewrite <- H. reflexivity.
- reflexivity.
- rewrite <- H. reflexivity.
- reflexivity.
Qed.

在第一次打勾时，背景和目标都是无意义的：

H : fb true true = false
______________________________________(1/1)
true = false

第二个假设是假的。第三个刻度与第一个刻度相同。只有第四个滴答是合理的：

H : fb false false = false
______________________________________(1/1)
false = false

我理解通过重写规则，所有这些都可行。但是我的印象是，我们正在为虚假的荒野放弃狭隘的道路。更准确地说，和AFAIK，可以做出错误的假设来证明任何陈述，无论是真是假。在这里我们用它来证明false = true，好吧为什么不呢，但仍然让我觉得有点不舒服。我不希望证明助理允许这样做。

详细阐述

在一个典型的矛盾证明中，我会随机选择一个假设，然后得出目标直到我发现重言式或矛盾。然后我会得出结论我的假设是真还是假。

这里发生了什么，在案例1中（案例3相同），Coq从一个假设的假设开始：

H : fb true true = false

将其应用于一个矛盾的目标：

true = false

并将它们结合起来找到重言式。

这不是我所知道的推理方式。这让人回想起学生们的笑话＆＃39;从0 = 1开始，可以证明任何关于自然数的荒谬结果。

跟进

所以今天上午我上下班时我正在考虑上面刚写的内容。我现在相信案例1和案例3是矛盾的正确证明。确实H是假的，我们用它来证明一个错误的目标。必须拒绝假设（a和b的值）。可能让我感到困惑的是，使用重写我们正在做的一部分＆＃34;向后＆＃34;，从目标开始。

对于案例2，我有点犹豫不决，其中包括：

H : fb true false = false
______________________________________(1/1)
false = false

基本上是false -> true，是＆＃34;爆炸原则下的重言式＆＃34;。我不认为这可以直接用在证明中。

哦，好吧，我不确定我是完全理解引擎盖下的内容，但是对Coq的信任是不受影响的。要继续并回到第5章。感谢大家的评论。

Answer 1

首先，感谢您提供自包含的代码。

当你知道你真正应该做的是从假设中产生矛盾时，我理解你使用rewrite证明目标的不安。但这并不能使推理不正确。确实，在这样的假设下你可以证明这个目标。

但是我也认为这并不能使证明脚本真正可读。在您的示例中，您正在考虑所有可能的情况，并且发生这四个中的三个是不可能的。当我们阅读您的证据时，我们无法看到。为了清楚表明你处在一个不可能的案例中，有一些策略可以说“看，我现在要证明是一个矛盾，以排除这种情况”。

其中一个是exfalso。它会以False替换当前目标（因为任何内容都可以从False派生，如@ejgallego在评论中所提到的那样。）

第二个是absurd说“我现在要证明一些陈述及其否定”（这基本上相当于证明了假）。

在你的情况下，第三个就足够了discriminate。它试图在假设中找到一个矛盾的平等，例如true = false。

Theorem th: forall a b: bool,
  fb a b = false -> b = false.
Proof.
  intros [] [] H.
  - discriminate.
  - discriminate.
  - discriminate.
  - reflexivity.
Qed.

现在，您知道，discriminate和reflexivity都是easy策略尝试的。因此，以下证据也可以起作用（但它没有显示正在发生的事情，因此不属于本问题的范围）：

Theorem th: forall a b: bool,
  fb a b = false -> b = false.
Proof.
  intros [] [] H; easy.
Qed.

这是相同证据的语法糖：

Theorem th: forall a b: bool,
  fb a b = false -> b = false.
Proof.
  now intros [] [] H.
Qed.

关于布尔值的证明，false = true

1 个答案: