Question

我在3D空间的某个地方有一条线和一个三角形。换句话说，我有3个点（每个[x，y，z]为三角形）和两个点（也是[x，y，z]）为该线。

我需要找出一种方法，希望使用C ++来确定线是否曾经过三角形。与三角形平行且具有多个共同点的线应计为＆＃34;不相交＆＃34;。

我已经制作了一些代码，但它不起作用，即使视觉表现清楚地显示了交叉点，我也总是假的。

ofVec3f P1, P2;
P1 = ray.s;
P2 = ray.s + ray.t;

ofVec3f p1, p2, p3;
p1 = face.getVertex(0);
p2 = face.getVertex(1);
p3 = face.getVertex(2);

ofVec3f v1 = p1 - p2;
ofVec3f v2 = p3 - p2;

float a, b, c, d;

a = v1.y * v2.z - v1.z * v2.y;
b = -(v1.x * v2.z - v1.z * v2.x);
c = v1.x * v2.y - v1.y * v2.x;
d = -(a * p1.x + b * p1.y + c * p1.z);

ofVec3f O = P1;
ofVec3f V = P2 - P1;

float t;

t = -(a * O.x + b * O.y + c * O.z + d) / (a * V.x + b * V.y + c * V.z);

ofVec3f p = O + V * t;

float xmin = std::min(P1.x, P2.x);
float ymin = std::min(P1.y, P2.y);
float zmin = std::min(P1.z, P2.z);

float xmax = std::max(P1.x, P2.x);
float ymax = std::max(P1.y, P2.y);
float zmax = std::max(P1.z, P2.z);


if (inside(p, xmin, xmax, ymin, ymax, zmin, zmax)) {
    *result = p.length();
    return true;
}
return false;

这里是inside（）

的定义

bool primitive3d::inside(ofVec3f p, float xmin, float xmax, float ymin, float ymax, float zmin, float zmax) const {
    if (p.x >= xmin && p.x <= xmax && p.y >= ymin && p.y <= ymax && p.z >= zmin && p.z <= zmax)
        return true;

    return false;
}

Answer 1

1）如果您只想知道线是否与三角形相交（不需要交点）：

设p1，p2，p3表示你的三角形

在两个方向上非常远的地方选择两个点q1，q2。

设SignedVolume（a，b，c，d）表示四面体a，b，c，d的有符号体积。

如果SignedVolume（q1，p1，p2，p3）和SignedVolume（q2，p1，p2，p3）具有不同的符号AND SignedVolume（q1，q2，p1，p2），SignedVolume（q1，q2，p2，p3）和SignedVolume（q1，q2，p3，p1）具有相同的符号，然后有一个交集。

SignedVolume（a，b，c，d）=（1/6）* dot（cross（b-a，c-a），d-a）

2）现在，如果你想要交叉点，当1）中的测试通过时

以参数形式写出直线的等式：p（t）= q1 + t *（q2-q1）

写出平面的方程：点（p，N） - 点（p1，N）= 0其中N =交叉（p2-p1，p3-p1）

将p（t）注入平面方程：点（q1 + t *（q2-q1），N-p1）= 0

Deduce t = -dot（q1，N-p1）/ dot（q1，q2-q1）

交点是q1 + t *（q2-q1）

Answer 2

要在3D中找到直线和三角形之间的交点，请遵循以下方法：

计算支撑三角形的平面
将线与支撑三角形的平面相交：
- 如果没有交叉点，则三角形没有交点。
- 如果有交叉点，请确认交叉点确实位于三角形中：
  - 三角形的每个边缘与支撑三角形的平面的法线一起确定了限定三角形内部的半空间（相应的边界平面可以从法线和边缘顶点导出），
  - 确认交叉点位于所有边缘半空间的内侧。

以下是一些示例代码，其中包含应该有效的详细计算：

// Compute the plane supporting the triangle (p1, p2, p3)
//     normal: n
//     offset: d
//
// A point P lies on the supporting plane iff n.dot(P) + d = 0
//
ofVec3f v21 = p2 - p1;
ofVec3f v31 = p3 - p1;

ofVec3f n = v21.getCrossed(v31);
float d = -n.dot(p1);

// A point P belongs to the line from P1 to P2 iff
//     P = P1 + t * (P2 - P1)
//
// Find the intersection point P(t) between the line and
// the plane supporting the triangle:
//     n.dot(P) + d = 0
//                  = n.dot(P1 + t (P2 - P1)) + d
//                  = n.dot(P1) + t n.dot(P2 - P1) + d
//
//     t = -(n.dot(P1) + d) / n.dot(P2 - P1)
//
ofVec3f P21 = P2 - P1;
float nDotP21 = n.dot(P21);

// Ignore line parallel to (or lying in) the plane
if (fabs(nDotP21) < Epsilon)
    return false;

float t = -(n.dot(P1) + d) / nDotP21;
ofVec3f P = P1 + t * P21;

// Plane bounding the inside half-space of edge (p1, p2): 
//     normal: n21 = n x (p2 - p1)
//     offset: d21 = -n21.dot(p1)
//
// A point P is in the inside half-space iff n21.dot(P) + d21 > 0
//

// Edge (p1, p2)
ofVec3f n21 = n.cross(v21);
float d21 = -n21.dot(p1);

if (n21.dot(P) + d21 <= 0)
    return false;

// Edge (p2, p3)
ofVec3f v32 = p3 - p2;
ofVec3f n32 = n.cross(v32);
float d32 = -n32.dot(p2);

if (n32.dot(P) + d32 <= 0)
    return false;

// Edge (p3, p1)
ofVec3f n13 = n.cross(-v31);
float d13 = -n13.dot(p3);

if (n13.dot(P) + d13 <= 0)
    return false;

return true;

对问题发布的代码的一些评论：

ofVec3f（.dot()和.cross()对于几何产品等的预定义操作应该是首选的（更具可读性，避免实施错误等等），
代码最初遵循上述方法，但仅检查交叉点是否在线段[P1，P2]的3D轴对齐边界框中。这与可能的其他错误相结合可以解释为什么结果不正确。
可以验证交叉点是否在（整个）三角形的3D轴对齐边界框中。虽然这不足以保证交叉，但它可以用于清除不相交的点并避免进一步的复杂计算。

Answer 3

@BrunoLevi：您的算法似乎无效，请参见以下python实现：

def intersect_line_triangle(q1,q2,p1,p2,p3):
    def signed_tetra_volume(a,b,c,d):
        return np.sign(np.dot(np.cross(b-a,c-a),d-a)/6.0)

    s1 = signed_tetra_volume(q1,p1,p2,p3)
    s2 = signed_tetra_volume(q2,p1,p2,p3)

    if s1 != s2:
        s3 = signed_tetra_volume(q1,q2,p1,p2)
        s4 = signed_tetra_volume(q1,q2,p2,p3)
        s5 = signed_tetra_volume(q1,q2,p3,p1)
        if s3 == s4 and s4 == s5:
            n = np.cross(p2-p1,p3-p1)
            t = -np.dot(q1,n-p1) / np.dot(q1,q2-q1)
            return q1 + t * (q2-q1)
    return None

我的测试代码是：

q0 = np.array([0.0,0.0,1.0])
q1 = np.array([0.0,0.0,-1.0])
p0 = np.array([-1.0,-1.0,0.0])
p1 = np.array([1.0,-1.0,0.0])
p2 = np.array([0.0,1.0,0.0])

print(intersect_line_triangle(q0,q1,p0,p1,p2))

给予：

[ 0.  0. -3.]

而不是预期的

[ 0.  0. 0.]

看着那条线

t = np.dot(q1,n-p1) / np.dot(q1,q2-q1)

从法线减去p1对我来说没有意义，您想从q1投影到三角形的平面上，因此您需要沿法线投影，距离为与q1到平面的距离和q1-q2沿法线的距离之比成正比，对吗？

以下代码可解决此问题：

n = np.cross(p2-p1,p3-p1)
t = np.dot(p1-q1,n) / np.dot(q2-q1,n)
return q1 + t * (q2-q1)

3D

3 个答案: