如何确定与切线垂直的圆弧上的点的距离？

Question

如下图所示：

• 绿色圆圈的半径等于 B
• 黄线与绿色圆圈相切
• 垂直紫色线与绿线平行并垂直于黄线。
• 黄线垂直于绿线和垂直紫线
• 紫色点位于绿色圆圈的边缘
• A 和 B 是已知值

我意识到其中几个约束重叠，只是试图彻底。 毕达哥拉斯定理可以提供 C 的值，只是为了说明我知道我们已经可以确定的内容。

确定 D 的公式/公式是什么，其中 D 是从黄色切线到圆弧/圆弧（紫色点）的垂直距离？

更新

现在更换以前尝试说明解决方案的尝试，我现在可以将其视为John提供的答案和评论的正确表示

Answer 1

如你所说C是容易的部分。但是对于A，B，C和余弦定理，你可以找出与B（b）相反的天使：

cos(b) = (a^2 + c^2 -b^2)/(2ac)

知道b并且A和D有一个正确的天使你可以计算出C和D之间的角度（b'）：

b' = 90° - b

假设D位于圆上，你知道从中心到D的距离是B，所以你现在有一个带有边B，D和C的三角形，你知道其中有两个边和一个角。再次使用余弦定律：

B^2 = C^2 + D^2 - 2CD cos(b')

所以我们可以再找一步：

B^2 - C^2 = D^2 - 2CD cos(b') + (C cos(b'))^2 -(C cos(b'))^2 <=>
B^2 - C^2 + (C cos(b'))^2 = (D - C cos(b'))^2 <=>
sqrt(B^2 - C^2 + (C cos(b'))^2) + C cos(b') = D

希望我没有把愚蠢的错误放在那里，这有助于......

Answer 2

距离D可以通过计算黄色段右端点的垂直光线与圆圈之间的最低交点来找到。

一些符号（x轴向右，y轴到底部，原点位于圆的中心）：

• 圈子的中心：P_C = (0, 0)
• 垂直射线的原点：P_O = (A, B)
• 垂直射线的方向：v_d = (0, -1)

光线上的点数满足：P = P_O + t v_d = (A, B - t)

圈子上的点数满足：|P P_O|^2 = B^2

将第一个等式扩展为第二个等式给出：A^2 + (B - t)^2 = B^2 = A^2 + B^2 - 2 B t + t^2

为t^2 - 2 B t + A^2 = 0解析t会产生d = B^2 - A^2 > 0，因此有两个解t_1 = B - sqrt(d)，t_2 = B + sqrt(d)（一个靠近圆圈的底部，另一个靠近顶部如预期的那样）。但是t实际上给出了沿光线的距离（因为v_d是一个单位向量），所以我们要找的是最小的解t_1。因此D = B - sqrt(B^2 - A^2)。

最终结果也可以在几何上推导和/或验证（由John提供，见所有相应的评论）：D = B - B'和B'^2 + A^2 = B^2（右侧三角形上的Pythagorus，圆圈的中心紫色点作为它的两个顶点，一条边坐在紫色线上。）