Question

我是Lambda Calculus的新手。我读过definition of lambda expression on Wikipedia。

lambda表达式集合Λ可以归纳定义：


如果x是变量，则x∈Λ

如果x是变量且M∈Λ，那么（λx.M）∈Λ

如果M，N∈Λ，则（M N）∈Λ

规则2的实例称为抽象，规则3的实例称为应用程序。

当 M 是一个函数抽象时，我知道规则2 的含义，即（λx.E）

但 M 不是函数时的含义是什么？例如，只是变量 x 或非函数表达式 x + y

Answer 1

Lambda演算包含无上下文语法

E ::= v        Variable
   |  λ v. E   Abstraction
   |  E E      Application

其中v范围与变量以及β和eta减少规则一致

(λ x. B) E  ->  B   where every occurrence of x in B in substituted by E
  λ x. E x  ->  E   if x doesn't occur free in E

a在λ b. b a中免费，但在λ a. λ b. b a中则不行。两个缩减规则都不适用的表达式为 normal form 。

因此，如果M N不是beta-redex (λ x. B) E，并且M和N都处于正常状态，那么M N整个就是不可简约的正常形式。

Answer 2

因此，当M是函数时，（M N）的含义很清楚。为简单起见，让我们考虑身份的情况，即M = I = \ x.x。

                          (*)    (\x.x) N

减少到N. 假设您现在想要使您的程序更通用。您不想只将身份应用于N，而是应用通用函数 f你作为输入。所以，你用f替换\ x.x并抽象出来整个任期w.r.t. F：

                                 \f.f N

必须理解为\ f。（f N）。很简单。

您现在可以将身份作为参数提供给前一个术语，以获取等同于（*）的术语：

                       (\f.f N) \x.x = \x.x N

为了使事情变得更加复杂，您可以想象处理您的输入函数f在应用于N之前。例如，如果您期望二进制（currified）函数作为输入，你可能希望将f应用于＆＃34;对＆＃34;参数（N，N），因为f被柠檬化，相当于将N作为参数传递两次：

                        (**)    \f. f N N

被理解为\ f。（（f N）N）。因此，您清楚地看到应用程序处于其他应用程序的功能位置。

要查看上一个示例，请使用术语K = \ x。\ y.x，而不是标识。 K吃了两个论点广告返回第一个。如果您将K作为上一学期的输入，则仍会得到等同于（*）

的术语

                       (\f.f N N) K = K N N = N

通常，编程语言是提供抽象的一种方式。要抽象出一个概念，首先需要给出一个方法这个概念的实例的名称。例如，在命令式语言中，变量本质上是存储器单元的抽象。要根据功能进行抽象，您需要使用它功能名称。第二步，它允许概念是＆＃34;表达＆＃34;，即提供允许动态合成的表达式语言给定概念的新实例（在我们的例子中，是新函数）。 lambda演算只是一个核心演算，其功能（直接）可表达。

在lambda演算中，如果将表达式应用于非函数表达式会怎么样？

2 个答案: