如何将投影的3D矩形转换为2D轴对齐的矩形

Question

我有一个3D矩形的图像（由于投影失真不是图像中的矩形）。我知道这个矩形所有角落的所有世界和图像坐标。

我需要的是确定此矩形内图像中某点的世界坐标。为此，我需要计算转换以将该矩形取消投影到2D矩形。

如何计算转换？

提前致谢

Answer 1

这是在四边形之间找到保留直线的映射的特殊情况。这些通常被称为单应变换。这里，其中一个四边形是一个矩形，所以这是一个流行的特殊情况。你可以谷歌这些术语（“四到四”等）来查找解释和代码，但这里有一些网站。

Perspective Transform Estimation

a gaming forum discussion

extracting a quadrilateral image to a rectangle

Projective Warping & Mapping

Paul Heckbert

ProjectiveMappings for ImageWarping。

数学并不是特别令人愉快，但也不是那么难。您还可以从上述链接中找到一些代码。

Answer 2

如果我理解正确，你在矩形的投影中有一个2D点，​​你知道矩形的所有四个角的3D（世界）和2D（图像）坐标。目标是找到投射到给定点的（3D，世界）矩形内部的唯一点的3D坐标。

（对于3D（世界）坐标和矩形的2D（图像）坐标，请执行以下步骤1-3。）

1. 将矩形的一个角（任何）标识为“原点”，并将其称为“A”，我们将其视为向量。
2. 按顺序标记其他顶点B，C，D，使C与A对角相对。
3. 计算向量v = AB和w = AD。这些形成了矩形中点的漂亮局部坐标。矩形中的点将是A + rv + sw的形式，其中r，s是[0,1]范围内的实数。这个事实在图像坐标中的世界坐标和中是正确的。在世界坐标中，v和w是正交的，但在图像坐标中，它们不是正交的。没关系。
4. 使用矩形图像中的点（x，y）处理图像坐标，计算r和s的值。这可以通过矢量方程（x，y）= A + rv + sw上的线性代数来完成，其中只有r和s是未知的。它将归结为2x2矩阵方程，您可以使用Cramer规则在代码中进行求解。 （如果所需矩阵的行列式为零，则此步骤将中断。这对应于看到矩形边缘的情况。在这种情况下，解决方案不是唯一的。如果可能，则进行特殊例外。）
5. 使用4中r和s的值，使用向量A，v，w计算A + rv + sw，用于 world 坐标。这是矩形的世界点。