计算三位小数内的系列的部分和

Question

我需要帮助完成我的作业，以计算以下系列的部分总和，该部分总和在系列值的0.001之内。

• 系列1：
• 系列2：

我为类似的系列1 / n ^ 3尝试了以下代码，并且通过给我n = 71工作得很好：

FindRoot

但是当我尝试使用series1和series2进行相同的设置时，它不会起作用。我问了几个人，他们给了我一些提示，我必须使用rotate3d为series1和while2循环for series2，但是，当我尝试时它也失败了。任何形式的帮助都会受到赞赏，因为我已经试图解决这些问题很长时间并且几乎无处可去。

Answer 1

对于您的第一笔款项，您可以使用余下的\sum_{n=M}^\inf \log n/n^2由\int_{M-1}^\inf \log n/n^2 \text{d}n = \frac{1+\log(M-1)}{M-1}从上方限定的事实。现在，由于此表达式作为M的函数是单调递减的（因为原始求和的所有项都是正数），您可以找到它低于所需阈值的值：

M = Ceiling[(x /. FindRoot[(1 + Log[x-1])/(x-1) == 0.001, {x, 10}])]
10235

N[Sum[Log[n]/n^2, {n, 1, \[Infinity]}]] - N[Sum[Log[n]/n^2, {n, 1, M}]]
0.000999816

第二个总和稍微容易一点，因为我们知道确切的结果是-Log[2]，因此可以直接用While循环检查需要多少个术语：

s = 0; j = 0; While[Abs[-Log[2.] - s] > 0.001, j += 1; s += (-1)^j/j;]; j
500

N[Abs[-Log[2] - Sum[(-1)^n/n, {n, 1, j}]]]
0.000999