我正在尝试用组合学和计数子集解决相当复杂的问题。首先，假设我们给出了集合A = {1,2,3，... N}，其中N <= 10 ^（18）。现在我们想要计算其表示中没有连续数字的子集。
示例
假设N = 3，A = {1,2,3}。总共有2 ^ 3个子集，但我们不想计算子集（1,2），（2,3）和（1,2,3）。所以总的来说这个问题我们想要回答5，因为我们只想计算剩余的5个子集。那些子集是（空子集），（1），（2），（3），（1,3）。我们还要打印结果模10 ^ 9 + 7。
到目前为止我做了什么
我在想这应该使用两个状态的动态编程来解决（我们是否采用了第i个元素），但后来我看到N可以达到10 ^ 18，所以我认为这个应该用数学公式解决。你能不能给我一些提示，我应该从哪里开始得到这个公式。
提前致谢。
答案 0 :(得分：3)
在数学堆栈交换中查看How many subsets contain no consecutive elements?。
他们得出的结论是，集合{1,2,3 ... n}中的非连续子集的数量是fib（n + 2），其中fib是计算数字的Fibonacci序列的函数N + 2。您对n = 3的解决方案符合此解决方案。如果你可以实现Fibonacci算法，那么你可以解决这个问题，但解决一个大到10 ^ 18的数字的问题仍然是一个挑战。
如此处的评论所述，您可以查看the fast doubling algorithm on Hacker Earth 它会在O（log n）中找到Fibonacci数。