Question

我需要一个存储子集的数据结构 - 称之为{1 ,. 。。，n}（n最初给出）并支持这些操作：

•最初：给出n，S = {1 ,. 。。，n}在开头。

•删除（i）：从S中删除i。如果我已经不在S中，则无效。

•pred（i）：返回i中S的前身。这意味着max {j∈S| j＆lt;我是S中最伟大的元素这严格低于我。如果没有，则返回0.参数i保证在{1 ,. 。。，n}，但可能会或可能不会在S。

例如，如果n = 7且S = {1,3,6,7}，则pred（1）返回0，pred（2）和pred（3）返回1.

我需要弄明白：

表示S
初始化算法（O（n）时间）
删除算法（O（α（n））摊销时间）
pred（O（α（n））摊销时间的算法

感谢任何帮助（我不需要代码 - 只需算法）。

Answer 1

您可以使用Disjoint-set data structure。

让我们将子集表示为不相交集。不相交集的每个元素是子集driver.find_elements_by_partial_link_text("Wat Chedi Luang").click()的元素（包括始终呈现零）与集合中所有缺少的元素联合，该元素大于i且小于下一个集合元素。

示例：

最初，我们有一个由n = 10 s = [1, 4, 7, 8], disjoint-set = [{0}, {1,2,3}, {4,5,6}, {7}, {8, 9, 10}] s = [3, 5, 6, 10], disjoint-set = [{0, 1, 2}, {3, 4}, {5}, {6, 7, 8, 9}, {10}]不相交集元素表示的完整集（包括零）。通常，每个disjoint-set元素都是一个有根的树，我们可以在每个树根的元素中存储n+1个数字。

我们leftmost是包含leftmost(i)的不相交集元素的leftmost值。

i操作类似于不相交集的Find操作。我们只是从leftmost(i)转到元素的根，并返回为根存储的i数字。 复杂性：leftmost

我们可以检查O(α(n))与i比较的子集中是否i。如果它们相等（leftmost(i)），那么i > 0就在子集中。

如果i不在子集中，则

pred(i)将等于leftmost(i)，如果i在子集中，则leftmost(i-1)等于i。 复杂性：O(α(n))

在每个delete(i)操作中，我们首先检查i是否在子集中。如果i在子集中，我们应该将包含i的元素与左邻居元素（这是包含i-1的元素）结合起来。此操作类似于不相交集的Union操作。结果树的leftmost个数将等于leftmost(i-1)。 复杂性：O(α(n))

编辑：我刚才注意到问题中“严格少于我”，稍微改了一下说明。

Answer 2

我不确定是否存在可以在O（α（n））时间内保证所有这些属性的数据结构，但是良好的开端将是诸如van Emde Boas trees或{{3}之类的前任数据结构}

vEB树的工作原理是基于元素索引的二进制表示来递归定义的。假设对于某些b = 2 ^ k

，n = 2 ^ b

如果我们只有两个元素，请存储最小值和最大值
否则，我们将所有元素的二进制表示分为上部和下部b / 2位我们为所有元素的高位构建vEB树（'summary'），为低位构建√nvBE树（每个高位的选择一个）。此外，我们存储最小和最大元素。

这为您提供了O（n）空间使用和O（log log n）= O（k）搜索，插入和删除的时间。
但请注意，所涉及的常数因素可能非常大。如果您的n代表32位，至少我知道Dementiev等人的y-fast tries。当问题大小可以通过其他技术更容易解决时打破递归

y-fast尝试的想法建立在x-fast尝试上：
它们最简单地描述为基于其元素的二进制表示的trie，结合每个级别的哈希表和一些额外的指针。

y-fast尝试通过在几乎相等大小的分区中拆分元素并从中选择代表（最大值）来减少空间使用，在其上构建x-fast trie。然后使用常规平衡搜索树实现分区内的搜索。

空间使用和时间复杂度与vEB相当。我猜这些常数因素比vEB的天真实现要小一些，但声称只是基于直觉。

最后一点：始终牢记日志日志n＆lt; 6 ，在不久的将来可能不会改变

Answer 3

在提供O（α（n））时间方面，它确实变得棘手。以下是我对此的看法：

由于我们知道的i范围是1到n，我们可以先形成一个自平衡的BST，如AVL tree。该AVL树的节点应该是DataNode的对象。这是它的样子：
```
public class DataNode{
int value;
boolean type;
DataNode(int value, boolean type){
    this.value = value;
    this.type = type;

    }
}
```
value只包含范围1到n中的所有值。如果我们在树中插入的项目存在于集合S中，则type变量将被赋值为true。如果不是，则将其标记为false。

创建需要O（n）时间。删除可以在O(logn)时间内完成。对于pred（i），如果我是正确的，我们可以将平均时间复杂度设置为O(logn)左右。 pred（i）的算法应该是这样的：

在树中找到元素i。如果type为true，则返回此元素i的inorder前导码，如果此前一个的类型值为true。
如果是false，则重复此元素的下一个前任（即i-1的前身），直到我们找到一个type = true的元素。
如果找不到type = true这样的前任，则返回0。

我希望我们可以进一步优化这种方法，使其成为对于pred（i）的O（α（n））。

我应该使用什么数据结构进行这些操作？

3 个答案: