在heapsort下限？

Question

众所周知，heapsort的最坏情况运行时是Ω（n lg n），但我很难理解为什么会这样。特别是，heapsort的第一步（制作最大堆）需要时间Θ（n）。然后是n次删除。我理解为什么每个堆删除需要时间O（lg n）;重新平衡堆涉及一个向下泡沫的操作，它在堆的高度花费时间O（h），并且h = O（lg n）。但是，我没有看到为什么第二步应该采用Ω（n lg n）。似乎任何单个堆出列都不一定会导致节点移动到顶部，从而一直向下冒泡。

我的问题是 - 有没有人知道有关heapsort最佳案例行为的良好下限证明？

Answer 1

所以我做了一些挖掘自己，看起来这个结果实际上是最近的！我能找到的第一个下限证据来自1992年，虽然heapsort本身是在1964年发明的。

正式的下限证据是由Schaffer和Sedgewick的“The Heaport分析”论文引起的。这是一个略微复述的证明版本，省略了一些技术细节。

首先，让我们假设n = 2 ^k - 1对于某些k，这可以保证我们有一个完整的二进制堆。我稍后将展示如何单独处理此案例。因为我们有2个 ^k - 1个元素，所以heapsort的第一遍将在Θ（n）中构建一个高度为k的堆。现在，考虑从这个堆中出列的前半部分，从堆中删除2个 ^k-1 节点。第一个关键观察是，如果您获取起始堆然后标记实际上最终出列的所有节点，它们将形成堆的子树（即，每个出列的节点都有一个也会出列的父节点）。您可以看到这一点，因为如果不是这种情况，那么会有一些节点（较大的）父节点虽然节点本身已经出列但没有出列，但这意味着这些值无序。

现在，考虑一下这个树的节点是如何在堆中分布的。如果你标记堆0,1,2，...，k - 1的级别，那么在级别0,1,2，...，k - 2中将会有一些这样的节点（也就是说，除了树的底层之外的所有东西）。为了使这些节点从堆中出列，它们必须交换到根，并且它们一次只能交换一个级别。这意味着降低heapsort运行时的一种方法是计算将所有这些值提升到根所需的交换次数。事实上，这正是我们要做的。

我们需要回答的第一个问题是 - 最大的2个 ^k-1 节点中有多少不在堆的底层？我们可以通过矛盾表明这不超过2 ^k-2 。假设堆底层中至少有2个 ^k-2 + 1个最大节点。那么这些节点的每个父节点也必须是k-2级的大节点。即使在最好的情况下，这意味着级别中必须至少有2个 ^k-3 + 1个大节点k - 2，这意味着在k - 3等级中至少有2个 ^k-4 + 1个大节点。总结所有这些节点，我们得到有2个 ^k-2 + 2 ^k-3 + 2 ^k-4 + ... + 2 ⁰ + k大节点。但是这个值严格大于2 ^k-1 ，这与我们在这里仅使用2个 ^k-1 节点的事实相矛盾。

好的......我们现在知道底层最多有2个 ^k-2 大节点。这意味着在第一个k-2层中必须至少有2个 ^k-2 的大节点。我们现在问 - 在所有这些节点上，从该节点到根节点的距离是多少？好吧，如果我们有2个 ^k-2 节点位于完整堆中的某个位置，那么它们中最多2个 ^k-3 可以处于前k-3级，因此在k-2级中至少有2个 ^k-2 - 2 ^k-3 = 2 ^k-3 重节点。 ，需要进行的掉期总数至少为（k-2）2 ^k-3 。由于n = 2 ^k -1，k =Θ（lg n），因此该值为Θ（n lg n）。

Answer 2

简单的观察答案是这样的： 堆中的项目是：

1
2
4
8
...
2^[log(n/4)]
and last level has between (1..2^[log(n/2)]) ==> (1,[n/2]) item, (by [] I mean Ceiling not roof)

例如，如果您有7个项目：

1
2
4

如果你有8项：

1
2
4
1

有两个不同的堆树，首先至少有n / 4 - 1个堆的项目在最后一级，或者没有，所以在最后一个之前至少有n/4 - 1个项目，在第一个如果需要O((n/4 - 1) * log(n/2))从堆中删除最后一个级别的项目，在第二种情况下需要O((n/4 - 1) * log(n/4))从前一级别删除项目。所以在这两种情况下，它只需要n（4 log（n））n / 4 - 1项，所以它是一个下限（很容易说它是紧的下限）。

Answer 3

以下是使用CLRS术语的解决方案：
我们从最大堆开始，这是一个带有n元素的完整二叉树 我们可以说在完整的二进制文件中有n/2个叶子和n/2个内部节点 n/2次HEAP-SORT次迭代从堆中删除最大的n/2元素 让S成为最大n/2元素的集合 叶子中n/4个元素最多只有S元素，因为内部节点中必须有n/4个元素。
让L为n/4中来自S的最大元素 因此，如果来自n/4的{​​{1}}元素位于0级（叶级） 那么在1级必须至少有S个 让n/8为来自P的{​​{1}}个{1}}元素 HEAP-SORT的n/8次迭代可以将S的元素作为根的捷径 然后离开堆，但n/2中的元素必须一直到根，然后才能从堆中删除。
所以至少有L个操作， 这给我们一个Ω（nlgn）的运行时间 现在针对max-heap的情况，它的所有叶子都没有在0级。
让P为0级叶子的数量。
在HEAP-SORT的(n/8)(lgn-1)次迭代之后，我们留下了最大堆 一个高度为k的完整二叉树 我们可以用同样的方式继续我们的证据 现在适用于k小于lgn-1个叶子的情况 设n/4为{0}中叶子中S的元素数 如果k，那么{1}}级别必须至少有S个元素 这是因为在级别1之上总共可以有k <= n/8个元素 我们以同样的方式继续证明 如果n/8，那么S中必须至少有n/4个元素位于第1级。
我们以同样的方式继续证明 我们得出结论，HEAP-SORT的运行时间是Ω（nlgn）。