Question

我的目标是在加权无向图中找到所有周期及其各自的权重。循环的权重定义为构成循环的路径的权重之和。我的预设算法执行以下操作：

dfs(int start, int now,int val)
{
     if(visited[now])
        return;
     if(now==start)
     {
        v.push_back(val);// v is the vector of all weights
        return;
     }
     dfs through all nodes neighbouring to now;
 }

我从每个起点呼叫dfs()：

for(int i=0;i<V;++i)
{
    initialise visited[];
    for(int j=0;j<adj[i].size();++j)//  adj is the adjacency matrix
        dfs(i,adj[i][j].first,adj[i][j].second); 
//  adj is a vector of vector of pairs
// The first element of the pair is the neighbour index and the second element is the weight
}

因此，该算法的整体复杂性为O(V*E)（我认为是这样）。任何人都可以提出更好的方法吗？

Answer 1

由于不是每个人都以同样的方式定义它，我假设......

重量位于边缘，而不是顶点
多次访问的循环中唯一的顶点是起始/结束顶点
单个顶点或两个连接的顶点不是循环，即。它需要至少三个顶点
在图表中的两个顶点之间，不能有多个边缘（没有“多图”）

以下步骤可以确定是否（至少）存在一个奇数加权循环：

删除所有只有0或1个连接边的顶点（不是必需的，但它可能更快）。
通过插入新的顶点来分割每个偶数加权边（只有它们，而不是奇数加权边！）。例如。如果顶点A和B之间的egde具有权重4，则它应该变为A-Z 2和Z-B 2，或A-Z 3和Z-B 1，或类似的东西。
- 实际重量分布并不重要，您甚至不需要保存它。因为，在此步骤之后开始，不再需要所有重量。
- 这实际上做了什么？想想每个奇数权重是1，每一个偶数都是2.（如果存在奇数加权周期，则不会改变：如果3 + 4 + 8是奇数，那么1 + 2 + 2也是如此）。现在你将所有2分成两个1.由于现在唯一的现有权重是1，确定总和是否为奇数与确定边缘“count”是否为奇数相同。
现在，检查双重性/ 2颜色：
- 您可以在此处使用修改后的DFS
- 顶点可以是未知的，0或1.启动时，将0分配给单个顶点，其他所有顶点都是未知的。 0顶点的未知邻居总是得到1，而1顶点的未知邻居总是得到0.
- 在检查顶点的邻居时，如果它们已被访问过，请检查该数字是否与您正在处理的顶点不同。 如果没有，你刚发现你的图表有奇数周期，你可以停止一切。
- 如果在没有找到DFS的情况下到达DFS结尾，则没有奇数加权循环。
- 对于实现，请注意您仍然可以到达DFS的“结束”，同时仍有未访问的顶点，即如果您有一个断开连接的图形。如果是这样，您需要将其余顶点之一设置为已知数字（0）并从那里继续DFS。

复杂性O(V + E)（这次真的，而不是一个指数的事情或不工作的解决方案）。

在无向加权图中找到所有周期权重的有效算法

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