如何通过RSA中的私钥解密c（加密消息）？

Question

我今天一直在研究RSA算法的概念，这就是我所理解的。

生成密钥对 -

• 将两个素数（p1 = 53，p2 = 59）相乘以生成n（将用作公共模数）
• 我们在n变量上使用Euler的totient函数，并定义一个新变量phi。
• 我们生成一个公开指数e，条件是它必须是小奇数不与我们的phi变量共享因子。

• 私钥d由此公式生成：

  

  或d = (k * (phi(n)) + 1) / e。

• 我们用变量替换变量并获取私钥：

  

  或d = (2 * (3016) + 1) / 3 = 2011

  我们替换 -

• k 2（据我所知k必须大于0且小于phi(n)）

• phi(n)与3016（因为p1 * p2 = 3127，因为结果 是一个素数，我们使用p1和p2轻松获得其phi。 （phi(n) = (p1-1) * (p2-1)）

• e带3的指数（因为它与3016不共享任何因子而且是奇数）

使用公钥 -

之后我们可以分享我们的e和n，因为计算机需要数十年才能从大n获取私钥。

我们的通信器将消息编码到十六进制中，然后将其转换为base10整数。 Communicator还可以添加随机整数填充以进行保护。

当消息变为数字时，将对其执行模幂运算：

[！[在此处输入图像说明] [3]] [3]

因此，如果数字中的消息为89，如果我们对其进行模幂运算，我们将得到：

1394

问题 -

如果我们的通讯员向我们发送1394加密89（89^3 * mod(59 * 53) = 1394），我们如何使用我们的私钥自动解密此邮件？是否有一些必须使用的特定配方？

非常感谢你阅读。

Answer 1

鉴于：p = 53，q = 59，e = 3。

• n = p * q = 3127。
• phi(n) = (p-1) * (q-1) = 3016。
• lambda = LCM(p-1, q-1) = 1508。
• dPhi = ModInverse(e, phi(n)) = ModInverse(3, 3016) = 2011。
• dLambda = ModInverse(e, lambda) = ModInverse(3, 1508) = 503。
• 和CRT参数（我们在这里没有使用过）
  • dp = dLambda % (q - 1) = 503 % 58 = 35。
  • dq = dLambda % (p - 1) = 503 % 52 = 39。
  • inverseQ = ModInverse(q, p) = ModInverse(59, 53) = 9。

（https://en.wikipedia.org/wiki/Modular_multiplicative_inverse和https://en.wikipedia.org/wiki/Extended_Euclidean_algorithm用于制作ModInverse）

请注意，dLambda小于dPhi。虽然最初的RSA论文使用基于phi的模型，但后来它被简化为基于LCM的模型。由于(p-1)和(q-1)均为偶数（因为p和q是素数！= 2）lambda最多为phi / 2 1}}，为反向创建一个小得多的模块化空间。

因此，假设我们正在进行原始/未填充RSA（因为此密钥太小而无法使用填充RSA）：

鉴于：m = 89。

c = m^e % n = 89^3 % 3127 = 704969 % 3127 = 1394。

m = c^d % n = 1394^503 % 3127 = 3.666e1581 % 3127 = ???。

相反，我们转到https://en.wikipedia.org/wiki/Modular_exponentiation。

m = ModPow(1394, 503, 3127) =＆gt; ModPow(1394, 0b0001_1111_0111, 3127)：

• R：1，基数：（1394％3127）= 1394，指数：0b0001_1111_0111
• R：（1 * 1394）％3127 = 1394，基数：（1394 * 1394）％3127 = 1943236％3127 = 1369，指数：0b0000_1111_1011
• R：（1394 * 1369）％3127 = 1908386％3127 = 916，基数：（1369 * 1369）％3127 = 1874161％3127 = 1088，e：0b0111_1101
• R：（916 * 1088）％3127 = 996608％3127 = 2222，基数：（1088 * 1088）％3127 = 1183744％3127 = 1738，e：0b0011_1110
• R：2222，base：（1738 * 1738）％3127 = 3020644％3127 = 3089，e：0b0001_1111
• R：（2222 * 3089）％3127 = 6863758％3127 = 3120，基数：（3089 * 3089）％3127 = 9541921％3127 = 1444，e：0b0000_1111
• R：（3120 * 1444）％3127 = 4505280％3127 = 2400，基数：（1444 * 1444）％3127 = 2085136％3127 = 2554，e：0b0111
• R：（2400 * 2554）％3127 = 6129600％3127 = 680，基数：（2554 * 2554）％3127 = 6522916％3127 = 3121，电子邮件：0b0011
• R：（680 * 3121）％3127 = 2122280％3127 = 2174，基数：（3121 * 3121）％3127 = 9740641％3127 = 36，e：0b0001
• R：（2174 * 36）％3127 = 78264％3127 = 89，基数：（36 * 36）％3127 = 1296％3127 = 1296，e：0b0000
• R：89