构造L = {（na（w）-nb（w））mod 3> 0}的DFA

Question

根据标题：

L = {（n _a （w）-n _b （w））mod 3> 0}

Alphabet = {a，b}

我找到了这个问题的两个答案：

在此解决方案中，我们的语言被接受。

然而，

w = b

也被接受。

在下一个解决方案中：

我们的问题

w = b

在这里解决但

w = aaab

不被接受。

如何解决此问题？我无法在互联网上找到合适的答案。

Answer 1

假设我们对mod有以下定义：

x mod y = {       x,       if 0 <= x < y
            (x - y) mod y, if 0 <  y <= x
                  x,       if -y < x < 0
            (x + y) mod y, if x <= -y < 0
            -(-x mod -y)   if y < 0
          }

所以我们的模数就像这样：

3 mod 5 = 3
6 mod 5 = 6-5 mod 5 = 1 mod 5 = 1
-3 mod 5 = -3
-6 mod 5 = -6+5 mod 5 = -1 mod 5 = -1
-6 mod -5 = -(6 mod 5) = -1
6 mod -5 = -(-6 mod 5) = -(-1) = 1

我们的语言是L = {（n_a（w） - n_b（w））mod 3＆gt; 0}

让我们定义A := n_a(w)和B := n_b(w)。因此，我们需要使用(A - B) mod 3 > 0的定义来解决mod。我们有五个案例：

1. 如果0 <= A - B < 3，意思是B <= A＆lt; B + 3，然后（A - B）mod 3 = A - B.假设它至少为零，如果A = B，则只能为零。我们可以确认当A = B时我们总是如此＃ 1，我们总是有（A - B）mod 3＆gt; 0假，所以我们可以抛出这种可能性。

2. 如果0＆lt; 3＆lt; = A-B，意思是B＆lt; 3 + B <= A或简单地A> = 3 + B，然后（A-B）mod 3 =（A-B-3）mod 3.根据假设，A-B-3> = 3 + B - B - 3＆gt; = 0，所以我们仍处于案例1或2中。如果我们保留在案例2中，我们可以重复这一点，直到我们最终达到案例1，我们将看到我们不能拥有A - B - 3k = 0;也就是说，对于任何正k，它不能是A = B + 3k。

3. 如果-3＆lt; A - B＆lt; 0或B-3 <0。 A＆lt; B，然后（A - B）mod 3 = A - B.假设它小于零，所以我们必须抛弃所有这些可能性。

4. 如果A - B <= -3＆lt; 0，意思是A＆lt; = B-3＆lt; B或简单地A＆lt; = B-3然后（A-B）mod 3 =（A-B + 3）mod 3.根据该假设，A-B + 3 <= B-3-B + 3 = 0 ，所以我们仍然处于第3或第4种情况。如果我们保留在案例4中，我们可以重复这一点，直到我们最终达到案例3，我们将看不到任何事情。

5. 我们不能在这种情况下因为3＆gt; 0

我们不得不从我们的语言中删除以下字符串：

• A = B
• A = B + 3k
• A＆lt;乙

所以我们只保留字符串多于b的字符串，其中A - B不能被3整除。假设这种语言是常规的。考虑语言中的字符串（b ^ p）（a ^（p + 1））。通过泵浦引理，我们应该能够抽出b s的数量;但是我们可以比b获得更多a s。所以语言不能规律。

如果我们采用x mod y更常见的定义（不一定更正确，必然）：

x mod y = {        x       , if 0 <= x < y
                (x - y)    , if 0 < y <= x
            (x + y) mod y  , if -y < x < 0
            -(-x mod -y)   , if y < 0
          }

根据这个定义：

1. 在案例1中，我们抛出A = B
2. 在案例2中，我们抛出A = B + 3k
3. 在案例3中，我们抛出A = B - 3k
4. 从3开始＆gt; 0，案例4不适用

现在我们只抛出A mod B = 0（mod 3）的情况。这种语言是常规语言，有DFA：

    +------------a-------------+
    |                          |
    |  +---b----+  +---b----+  |
    |  |        |  |        |  |
    V  V        |  V        |  |
    (q0)---a--->(q1)---a--->(q2)
--->(q0)
    (q0)---b--->(q3)---b--->(q4)
    ^  ^        |  ^        |  |
    |  |        |  |        |  |
    |  +---a----+  +---a----+  |
    |                          |
    +------------b-------------+