如何计算二项式系数时间和空间复杂度？ （迭代与递归）

Question

这是迭代版本，但它调用递归函数。这会对其时间/空间复杂性产生影响吗？

int factorial(int n) {
    if (n == 1) {
        return 1;
    }
    else {
        return n * factorial(n - 1);
    }
}

int binomial_coefficient_iterative(unsigned int n, unsigned int k) {
    if (k == 0 || k == n) {
        return 1;
    }
    else {
        return (factorial(n) / ( factorial(k) * factorial(n - k) ) );
    }
}

这是递归版本，使用C（n，k）= C（n-1，k）+ C（n-1，k-1）公式计算。

int binomial_coefficient_recursive(unsigned int n, unsigned int k){
    if (k == 0 || k == n) {
        return 1;
    }
    else {
        return binomial_coefficient_recursive(n - 1, k) + binomial_coefficient_recursive(n - 1, k - 1);
    }
}

最后但并非最不重要的是，你能用C（n，k-1）计算二项式系数C（n，k）吗？

Answer 1

解决方案都取决于递归。在第一个版本中，您可以使用简单迭代替换factorial的递归调用。

但是，在第二个解决方案中存在重新计算重叠子问题的问题。

  C(n, k) = C(n-1, k) + C(n-1, k-1) 

你应该使用memoization来缓存C（n，k）的值，只要它被计算存储值，当函数调用相同的参数时，重新计算，查找并返回值。

在第一个问题中，您正在多次调用阶乘函数，这是可以避免的。策略是计算增量变化。例如，当您计算factorial(k)时，您可以派生

    factorial(n) = factorial(k) * K+1 * K+2 ...n

这减少了你正在进行的乘法次数。

回到问题的时空复杂性。

第一：时间复杂度是O（n），这里是3个阶乘调用，你正在做n，k和n-k乘法

第二：它将是

    T(n,k) = T(n-1,k) + T(n-1,k-1) + O(1)           
    where T(n,n) = T(n,0) = O(1)

求解这个差分方程，你会得到T（n）= O（2 ^ n），（用于寻找斐波那契数列复杂度的相同参数）

所以后面的方法是指数的，可以使用memoization来降低。