最佳运行时间：上限和下限？

Question

在我的作业中，我以声明的形式获得了一些关于算法的信息。其中一个陈述是：“算法B的最佳运行时间为Ω（n ^ 2）;”。

我认为算法的最佳运行时间总是下限，上限或紧束缚。我想知道像这样的算法是否也可以具有其最佳运行时间的上限。如果是这样，那么算法的一些例子是什么？

Answer 1

case 是一类输入，您可以考虑算法的性能。 最佳情况是您的算法的运行时具有最理想的渐近边界的输入类。通常这可能意味着没有其他类可以提供较低的Omega界限。 最坏情况是您的算法运行时具有最不理想的渐近边界的输入类。通常这可能意味着没有其他类提供更高的O界限。 平均情况与边界的可取性无关，但在给定一些指定的输入分布的情况下查看运行时的预期值。等等。您可以定义任何您想要的案例。

想象一下以下算法：

Weird(a[1...n])
    if n is even then
        flip a coin
        if heads then bogosort(a[1...n])
        else if tails then bubble_sort(a[1...n])
    else if n is odd then
        flip a coin
        if heads then merge_sort(a[1...n])
        else if tails then counting_sort(a[1...n])

给定一个n整数列表，每个整数在1到10之间（包括1和10），此算法对列表进行排序。

• 在最好的情况下，n是奇数。最佳案例的下限为Omega(n)，最佳案例的上限为O(n log n)。

• 在最坏的情况下，n是偶数。最坏情况下限为O(n^2)，最坏情况下没有上限（因为bogosort可能永远不会完成，尽管极不可能）。

• 要定义平均情况，我们需要定义概率。假设偶数/奇数对于所有n同样可能，则在平均情况下没有上限，并且平均情况下的下限是Omega(n^2)，与最坏情况相同。为了得到平均情况的不同界限，我们需要定义分布，以便n对于更大的列表变得越来越不可能。例如，通常传入此算法的唯一偶数列表的长度为2。