Question

我有稀疏矩阵A（120,000 * 120,000）和矢量b（120,000），我想用Eigen库求解线性系统AX = b。我试着按照文档但我总是有错误。我也尝试将矩阵更改为密集并解决系统

    Eigen::MatrixXd H(N,N);
    HH =Eigen:: MatrixXd(A);
    Eigen::ColPivHouseholderQR<Eigen::MatrixXd> dec(H);
    Eigen::VectorXd RR = dec.solve(b);

但是我遇到了内存错误。请帮我找到解决这个问题的方法。

Answer 1

对于稀疏系统，我们通常使用迭代方法。一个原因是直接求解器如LU，QR ...因子分解填充了你的初始矩阵（填写的意思是最初零组件被非零组件替换）。在大多数情况下，生成的密集矩阵不再适合内存（ - > 您的内存错误）。简而言之，迭代求解器不会改变稀疏模式，因为它们只涉及矩阵向量积（无填充）。

那就是说，你必须首先知道你的系统是否是对称肯定（又名SPD），在这种情况下你可以使用conjugate gradient method。否则，您必须使用非BiCGSTAB或GMRES等非对称系统的方法。

您必须知道我们大部分时间都使用preconditioner，特别是如果您的系统处于病态状态。

看着我发现的Eigen doc（没有预处理器afaik的例子）：

  int n = 10000;
  VectorXd x(n), b(n);
  SparseMatrix<double> A(n,n);
  /* ... fill A and b ... */ 
  BiCGSTAB<SparseMatrix<double> > solver;
  solver.compute(A);
  x = solver.solve(b);
  std::cout << "#iterations:     " << solver.iterations() << std::endl;
  std::cout << "estimated error: " << solver.error()      << std::endl;

这可能是一个好的开始（如果你的矩阵是SPD，使用共轭梯度法）。请注意，这里没有预处理器，因此收敛肯定会很慢。

回顾：大矩阵 - ＆gt;迭代方法+预处理器。

这真的是第一个＆＃34;基本/天真＆＃34;解释，您可以在Saad's book: Iterative Methods for Sparse Linear Systems中找到有关该理论的更多信息。同样，这个主题很大，你可以找到很多关于这个主题的书。

我不是Eigen用户，但有precondtioners here。 - ＆GT;不完全LU（不对称系统）或不完全Cholesky（SPD系统）通常是很好的通用预处理器，有第一次测试。

如何求解稀疏矩阵的线性方程AX = b

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