Question

（here是我迄今为止工作的要点。）

Coq带有关于eta减少的规则，允许我们证明以下内容：

Variables X Y Z : Type.
Variable f : X -> Y -> Z.

Lemma eta1 : (fun x => f x) = f.
Proof.
  auto.
Qed.

eta规则不仅仅是一个平等重写，所以我们也可以在绑定器下面使用它：

Lemma eta2 : (fun x y => f x y) = f.
Proof.
  auto.
Qed.

当然，人们可以预期你可以将其概括为f任意的arity。这是我天真的尝试：

Require Import Coq.Lists.List.
Import ListNotations.

Fixpoint toType(ts : list Type)(t : Type) : Type :=
  match ts with
  |[]    => t
  |u::vs => u -> (toType vs t)
  end.

Compute toType [X;Y] Z.

(*
     = X -> Y -> Z
     : Type
*)

Fixpoint etaexpand(ts : list Type) : forall t : Type, toType ts t -> toType ts t :=
  match ts as ts return forall t, toType ts t -> toType ts t with
  |[]    => fun t x => x
  |u::vs => fun t f (x:u) => etaexpand vs t (f x)
  end.

Compute etaexpand [X;Y] Z f.
(*
     = fun (x : X) (x0 : Y) => f x x0
     : toType [X; Y] Z
*)

Lemma etaexpand_id : forall ts t f, etaexpand ts t f = f.
Proof.
  induction ts; intros.
  auto.
  simpl.
  (*stuck here*)

我陷入了上述引理的归纳步骤。当然，我想用归纳假设重写，但我不能，因为相关的子项发生在一个活页夹下面。当然，我自己也知道归纳假设应该可以在绑定器下使用，因为它只是一个eta重写链。我想知道是否有一种聪明的方式来陈述和说服Coq这个事实。

Answer 1

万一有人好奇，here's我想出了解决方案。

关键是要同时证明以下＆＃34;好看＆＃34; etaexpand ts t的属性：

Definition nice{X Y}(F : Y -> Y) := (forall y, F y = y) -> forall f : X -> Y, 
  (fun x => F (f x)) = f.

如何证明关于eta扩展的这个引理？

1 个答案: