Question

我有一个3D点和一个中心的列表，我希望在给定的法向量周围以顺时针顺序对它们进行排序。这些点不是共面的，但是它们和中心被绑定到球体的表面并且它们勾勒出多边形。法向量是从球体中心到分选中心中心的向量。我尝试了this comparison function，但是当两个点相距超过π/2时，它就会失败。

如何为任意一组点获得实际的3D（计数器）顺时针排序？

这不是Sorting 3D points on the surface of a sphere in clockwise order的重复，因为这个问题专门针对角度比较中缺乏传递性的问题。

这不是Sorting a List of 3d coplanar points to be clockwise or counterclockwise的重复，因为这个问题更多的是关于确定一个点是否接近另一个点的顺时针或逆时针，虽然这是一个比较关系，但它不能给出一个好的 - 定义总排序。

Answer 1

正如你所知，单点产品本身不能工作，因为它是一个标量余弦，余弦的每个值都对应于单位圆的两个点。

因此，解决方案的一种方法是在法线给出的平面中找到两个垂直参考向量，并将三个产品与这些向量相乘。它们将是您可以用于分类的角度的正弦和余弦。因此，您可以使用atan2(y,x)来获得精确的角度，或者 - 如果速度很重要 - 使用斜率和反斜率近似atan2/(pi/4)。

要获得所需的两个向量，首先选择最长的叉号I x n，J x n和K x n，其中I，J，{{1是单位轴向量。调用此向量K。它必须位于平面内，因为它垂直于p。（你花费的时间最长，以避免出现浮点精度问题。）

现在计算n。这也在于平面，因为它垂直于q = n x p，但它也垂直于n ......正是我们所需要的。

总结一下，p和p是q正常的任何平面中的垂直向量。

现在，如果n为中心，则对于多边形中的每个点c，计算三重产品r和t = n * ((r - c) x p)。然后u = n * ((r - c) x q)或其近似值是排序度量标准。

<强>演示

只是为了表明这确实有效，包括atan2(u, t)近似值：

atan2

这将打印有效的键盘顺序：

public class Sorter3d {

  // Sorting key metric calculator.
  static class Order {
    final Vec n, pp, qp;
    final Pt c;

    Order(Vec n, Pt c) { 
      this.c = c;
      this.n = n;
      pp = n.cross(Vec.I).longer(n.cross(Vec.J)).longer(n.cross(Vec.K));
      qp = n.cross(pp);
    } 

    double getKey(Pt r) {
      Vec rmc = r.minus(c);
      return approxAtan2(n.dot(rmc.cross(pp)), n.dot(rmc.cross(qp)));
    }
  }

  // Affine 3d vectors.
  static class Vec {
    static final Vec I = Vec.of(1, 0, 0);
    static final Vec J = Vec.of(0, 1, 0);
    static final Vec K = Vec.of(0, 0, 1);
    final double x, y, z;
    private Vec(double x, double y, double z) { this.x = x; this.y = y; this.z = z; }
    static Vec of(double x, double y, double z) { return new Vec(x, y, z); }
    Vec cross(Vec o) { return Vec.of(y * o.z - z * o.y, z * o.x - x * o.z, x * o.y - y * o.x); }
    double dot(Vec o) { return x * o.x + y * o.y + z * o.z; }
    double dot(Pt o) { return x * o.x + y * o.y + z * o.z; }
    double len2() { return dot(this); }
    double len() { return Math.sqrt(len2()); }
    Vec scale(double s) { return Vec.of(x * s, y * s, z * s); }
    Vec unit() { return scale(1.0 / len()); }
    Vec longer(Vec o) { return len2() > o.len2() ? this : o; }
    public String toString() { return String.format("[%.3f,%.3f,%.3f]", x, y, z); }
  }

  // Affine 3d points.
  static class Pt {
    static final Pt O = Pt.of(0, 0, 0);
    final double x, y, z;
    private Pt(double x, double y, double z) { this.x = x; this.y = y; this.z = z; }
    static Pt of(double x, double y, double z) { return new Pt(x, y, z); }
    Pt plus(Vec o) { return Pt.of(x + o.x, y + o.y, z + o.z); }
    Vec minus(Pt o) { return Vec.of(x - o.x, y - o.y, z - o.z); }
    public String toString() { return String.format("(%.3f,%.3f,%.3f)", x, y, z); }
  }

  // Return approximation of atan2(y,x) / (PI/2);
  static double approxAtan2(double y, double x) {
    int o = 0;
    if (y < 0) { x = -x; y = -y; o |= 4; }
    if (x <= 0) { double t = x; x = y; y = -t; o |= 2; }
    if (x <= y) { double t = y - x; x += y; y = t; o |= 1; }
    return o + y / x;
  }

  public static void main(String [] args) {
    // Make some random points radially sorted about the Z axis.
    int nPts = 17;
    Pt [] pts = new Pt[nPts];
    for (int i = 0; i < nPts; ++i) {
      double r = 1.0 + 10 * Math.random();
      double theta = i * (2 * Math.PI / nPts);
      pts[i] = Pt.of(r * Math.cos(theta), r * Math.sin(theta), 40.0 * (1 - Math.random()));
    }
    // Pick arbitrary normal vector and center point.
    // Rotate z-axis to normal and translate origin to center.
    Vec normal = Vec.of(-42.0, 17.0, -91.0);
    Vec cx = Vec.J.cross(normal).unit();
    Vec cy = normal.cross(cx).unit();
    Vec cz = normal.unit();
    Vec rx = Vec.of(cx.x, cy.x, cz.x);
    Vec ry = Vec.of(cx.y, cy.y, cz.y);
    Vec rz = Vec.of(cx.z, cy.z, cz.z);
    Pt center = Pt.of(11, 12, 13);
    Vec ofs = center.minus(Pt.O);
    Pt [] xPts = new Pt[nPts];
    for (int i = 0; i < nPts; ++i) {
      xPts[i] = Pt.of(rx.dot(pts[i]), ry.dot(pts[i]), rz.dot(pts[i])).plus(ofs);
    }
    // Check the sort keys returned by the sorter.
    Order order = new Order(normal, center);
    for (int i = 0; i < nPts; ++i) {
      System.out.println(order.getKey(xPts[i]));
    }
  }
}

Answer 2

在垂直于法线的平面上投影点（与法线形成正交框架）。然后在这个平面中，使用极坐标并按角度排序。无论如何，注意角度的零是任意的。

Answer 3

好的，我已经设法找到我自己的解决方案，它只使用点和交叉产品，没有反向触发或平方根或任何东西。您在列表中选择第一个顶点v并将其用作参考。然后使用法线向量跨越该向量r = v - center以获得半空间分区向量p。如果两个输入位于p的同一侧，那么您可以毫无问题地使用三元产品，因为它们之间的圆柱角度将小于π。虽然有一些边缘情况需要注意，所以我想我只是分享一些伪代码。

let c be the center around which the counterclockwise sort is to be performed
let n be the normal vector 

r := vertices[0] - c // use an arbitrary vector as the twelve o’clock reference
p := cross(r, c)     // get the half-plane partition vector

// returns true if v1 is clockwise from v2 around c
function less(v1, v2):
    u1 := v1 - c
    u2 := v2 - c
    h1 := dot(u1, p)
    h2 := dot(u2, p)

    if      h2 ≤ 0 and h1 > 0:
        return false

    else if h1 ≤ 0 and h2 > 0:
        return true

    else if h1 = 0 and h2 = 0:
        return dot(u1, r) > 0 and dot(u2, r) < 0

    else:
        return dot(cross(u1, u2), c) > 0

    //           h2 > 0     h2 = 0     h2 < 0
    //          ————————   ————————   ————————
    //  h1 > 0 |   *        v1 > v2    v1 > v2
    //  h1 = 0 | v1 < v2       †          *
    //  h1 < 0 | v1 < v2       *          *

    //  *   means we can use the triple product because the (cylindrical)
    //      angle between u1 and u2 is less than π
    //  †   means u1 and u2 are either 0 or π around from the zero reference
    //      in which case u1 < u2 only if dot(u1, r) > 0 and dot(u2, r) < 0

按顺时针顺序排列3D点列表

3 个答案: