Question

我读了
for ( x = y; x > 0; x = ( y & (x-1) ) )

生成位掩码y的所有子集。

此迭代如何工作？有任何直观的解释吗？

来源：http://codeforces.com/blog/entry/45223

请参阅次优解决方案部分。

Answer 1

Intuition：作为一个数字，位掩码y不能超过y个子集。因此，通过倒计时x，您可以保证通过位掩码命中y的每个子集。但是这会产生很多重复。想想1101。如果你从那里算起来并用y掩盖，序列就会消失。 1101，1100，1001，1000，1001，1000等。通过为x分配掩蔽操作的结果，可以跳到最后一次出现。

证明：这可以通过归纳进行简单的证明。显然，对于长度为1的位串，此过程有效。只有两个子集1和0按此顺序发出。

现在假设此过程适用于长度为N的位串。假设Z是长度为N的位串。如果你创建了bitstring 0Z，那么你遵循与Z相同的顺序，因为减法不会打开更高阶的位。如果您创建了bitstring 1Z，则会发生以下情况：对于第一个2^nnz(Z)步骤，将遵循原始Z序列，前缀为1。对于最后的2^nnz(Z)步骤，将遵循原始的Z序列，前缀为0。由于该过程访问较小序列的每个元素两次，第一次前置1，第二次前置0，我们得出结论，该过程会发出1Z的每个子集。

总之，我们看到该过程适用于所有位串。

Answer 2

这里使用的第一个简单事实是，如果我们说，取值7（二进制111）并开始重复递减（一直到0）我们将通过二进制表示

111, 110, 101, 100, 011, 010, 001, 000

以相当明显的方式表示原始3组的所有可能子集。

第二个事实是二进制“递减x”（“从x减去1”）意味着：从最低有效位开始反转x的所有位（最右边）一个和左边一直到（并包括）1表示中的第一个x。 “向左”在这里意味着“在增加位重要性的方向上”。

E.g。

00001000 - 1 = 00000111, i.e. we invert the `1000` tail
01010101 - 1 = 01010100, i.e. we invert just the `1` tail
10000000 - 1 = 01111111, i.e. we invert the whole thing
and so on

递减操作“关闭”二进制表示中的最低有效1位，并“打开”其右侧的所有零位。

现在，第三个事实是，在您的情况下，1 x位始终是1位y的一部分，因为我们以{{1}开头并且在每次迭代时执行x = y。

当我们执行x = (whatever) & y时，我们“关闭”（设置为x - 1）0中的最低1和“开启”（设为x } 1中距离最低0右侧的所有x。

当我们在1中使用& y时，我们会关闭{{1> x = (x - 1) & y中y的一些原始位1}}和“打开”x中y的所有低原始位。

此时已经很明显，这个操作只是x的“掩盖减量”：通过执行x我们只是在假设x = (x - 1) & y的情况下递减x的值。只有y掩盖的位形成x的值，而所有其他位只是可忽略的“填充位”。

要在递减7的情况下绘制与上述示例并行的内容，y的初始值可能会显示为10010100。操作x = (x - 1) & y将此值视为“分布式7”（非正式地说）。 x将继续执行以下值

1..1.1.., 1..1.0.., 1..0.1.., 1..0.0.., 0..1.1.., 0..1.0.., 0..0.1.., 0..0.0..

其中.指定x的“pading”位，它们并不真正参与这个“屏蔽的减量”操作（实际上它们将是0）。注意与7的原始示例相似。

子集迭代的子集如何工作？

2 个答案: