如何计算三个嵌套依赖循环的时间复杂度？

Question

考虑代码：

void foo(int n){
    int s = 0;
    for (i=1; i<=n; i++)
        for(j=1;j<=i*i;j++)
            if (j % i == 0){
                for (k=1; k<=j; k++)
                    s++;
            }
}

我们如何计算具有三个嵌套依赖循环的上述代码段的时间复杂度？

我想 i将持续到n， j直到我 ² 或n ² ， k直到j或n ² 。

因此，根据我，时间复杂度应为O（n * n ² * n ² ）或O（n ⁵ ）。但我知道它的O（n ⁴ ）。我哪里错了？

Answer 1

这一行：     if（j％i == 0） 正在发挥作用。 例如，对于i = 3，j将运行9次。

和（j％i == 0）仅为3次。因此，k循环不会运行9次，而只会运行3次。

Answer 2

只要j是i的倍数，就会执行最里面的循环。 在此循环中，j将是i，i次的倍数。

现在我们考虑每次i次迭代。只有i-1次，我们才会进行if检查。然后休息时间我们将运行内部循环ij次（我们也进行了循环检查）。

i次迭代的工作将是i+ij。 j与1..i不同，因此ersult将为i^2+ (i^2*(i+1)/2)。

现在，如果我们考虑外部循环，它将是i=1..n Sum(i^2+ (i^2*(i+1)/2)) ~ O(n^4)。