双浮点精度

Question

我用Gauss-Seidel方法解决拉普拉斯方程，但在某些地区，它显示出类似高原的方面。形式上，即通过数值分析，即使梯度几乎为零，也不应存在这样的区域。

我不得不相信双精度不足以执行算术并且需要使用大量的库（从而破坏了性能，因为现在它将由软件完成）。或者，我应该以不同的顺序执行操作，旨在保留小数的一些重要性。

实施例

Cell（13,14,0）正在通过7点网格（在3D中）进行更新，其邻居是：

(12,14,0)=  0.9999999999999936; // (x-)
(14,14,0)=  0.9999999999999969; // (x+)
(13,13,0)=  0.9999999999999938; // (y-)
(13,15,0)=  1.0000000000000000; // (y+)
(13,14,-1)= 1.0000000000000000; // (z-)
(13,14,1)=  0.9999999999999959; // (z+)

因此，单元格（13,14,0）的新值将被评估为：

p_new = (0.9999999999999936 + 0.9999999999999969 + 0.9999999999999938 + 1.0000000000000000 + 1.0000000000000000 + 0.9999999999999959) / 6.0 ;

导致p_new为1.0000000000000000，应为0.9999999999999966。

代码

#include <stdio.h>

int main()
{
    double ad_neighboor[6] = {0.9999999999999936, 0.9999999999999969,
                              0.9999999999999938, 1.0000000000000000,
                              1.0000000000000000, 0.9999999999999959};

    double d_denom = 6.0;

    unsigned int i_xBackward=0;
    unsigned int i_xForward=1;

    unsigned int i_yBackward=2;
    unsigned int i_yForward=3;

    unsigned int i_zBackward=4;
    unsigned int i_zForward=5;

    double d_newPotential = (ad_neighboor[i_xForward] + ad_neighboor[i_xBackward] +
                             ad_neighboor[i_yForward] + ad_neighboor[i_yBackward] +
                             ad_neighboor[i_zForward] + ad_neighboor[i_zBackward] ) / d_denom;

    printf("%.16f\n", d_newPotential);
}

Answer 1

因为你正在解决：

d²(phi)/dx² + d²(phi)/dy² = 0

相反，你可以解决同等问题：

d²(phi')/dx² + d²(phi')/dy² = 0

其中，phi' = phi - 1。

请记住以phi'。

的形式应用边界条件

最后，在解决方案收敛后，您可以将解决方案设为phi = 1 + phi'。

我假设边界值接近1。

我还没试过这个，但我认为数字会以浮点表示法的有效数字表示，因此截断误差会减少。

Answer 2

您的粒度对于平台上的双精度浮点类型来说太精细了。

在大多数情况下，您可以通过调整粒度来解决此问题。如果你需要任何说服力，15个重要的粒度数字足以将太阳系与1厘米长的正方形的轨道或冥王星相连！对于这种方法，我倾向于保留至少四个数量级来消除数值噪声。

在极少数情况下，您应该考虑切换到另一种数据类型，例如long double（如果与您的平台不同double）或任意精度类型