设（0,0）和（Xo，Yo）是笛卡尔平面上的两个点。我们想要确定抛物线曲线，Y = AX ^ 2 + BX + C，它从这两个点通过并且具有等于S的给定弧长。显然，S> 1。 sqrt（Xo ^ 2 + Yo ^ 2）。由于曲线必须从（0,0）传递，因此它应该是C = 0。因此，曲线方程简化为：Y = AX ^ 2 + BX。我怎样才能确定{A，B}知道{Xo，Yo，S}？有两个解决方案，我想要一个A> 0的解决方案。
我有一个解析解（复数）给出了一组{A，B，Xo，Yo}的S，虽然这里的问题是倒置的......我可以通过数值求解一个复杂的方程组来进行。 ..但也许有一个数字例程就是这样做的？
任何有用的Python库？其他想法？
非常感谢： - ）
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请注意，二次a*x0^2 + b*x0的弧长（线积分）由sqrt(1 + (2ax + b)^2)从x = 0到x = x0的积分给出。在求解积分时，积分的值为0.5 * (I(u) - I(l)) / a，其中u = 2ax0 + b; l = b;和I(t) = 0.5 * (t * sqrt(1 + t^2) + log(t + sqrt(1 + t^2))，sqrt(1 + t^2)的积分。
自y0 = a * x0^2 + b * x0，b = y0/x0 - a*x0以来。替换b和u，l，u = y0/x0 + a*x0中l = y0/x0 - a*x0的值。在行积分（弧长）的解中替换u和l，我们得到弧长作为a的函数：
s(a) = 0.5 * (I(y0/x0 + a*x0) - I(y0/x0 - a*x0)) / a
现在我们将弧长作为a的函数，我们只需找到a的{{1}}的值。这是我最喜欢的寻根算法Newton-Raphson method再次发挥作用的地方。
Newton-Raphson寻找根的方法的工作算法如下：
对于要获取其根的函数s(a) = S，如果f(x)是根的x(i)猜测，
i其中x(i+1) = x(i) - f(x(i)) / f'(x(i))
是f'(x)的衍生物。这个过程一直持续到两个连续猜测之间的差异非常小。
在我们的案例中，f(x)和f(a) = s(a) - S。通过简单应用链规则和商规则，
f'(a) = s'(a) s'(a) = 0.5 * (a*x0 * (I'(u) + I'(l)) + I(l) - I(u)) / (a^2)
。
剩下的唯一问题是计算好的初始猜测。由于the graph of s(a)的性质，该函数是Newton-Raphson方法的优秀候选者，并且I'(t) = sqrt(1 + t^2)的初始猜测在大约5-6次迭代中收敛到解决方案的容差/ epsilon y0 / x0。
找到1e-10的值后，a只是b。
将其写入代码：
y0/x0 - a*x0Run the example on CodeSkulptor
请注意，由于作为示例中函数输入的弧长的有理逼近，所获得的系数可能与预期值略有不同。