是否有人知道一个简单且可微分的函数，它将3D矢量u = (x, y, z)转换为与u正交的另一个矢量。
更确切地说，我正在寻找三个可微函数{f, g, h}，使得向量u = (x, y, z)与v = (f(x,y,z), g(x,y,z), h(x,y,z))正交，v仅在{{1}时为零是零。
函数u应该尽可能简单。我更喜欢它们是线性的，但我认为不存在这样的线性函数。低次多项式也很好。
P.S。我找到了这样的函数，但它们不是多项式。例如：
{f, g, h}它只是（x，y，z）与（exp（x）+ 1，exp（x）+2，exp（x）+3）的叉积。它满足除多项式之外的所有要求。但它们很简单。
答案 0 :(得分：7)
不存在这样的连续功能。这是"hairy ball"定理的结果，它表明在球体上没有定义连续的永不消失的切线场（如果你可以得到F(v)非零，连续且始终与{{1}正交然后v可用于在球体上轻松定义连续的永不消失的切线场。）
另一方面，如果功能不需要连续，则问题很容易。我通常做的是选择v-F(v)的Y和Z分量之间的较大值（绝对值），然后如果Z分量较大则计算v和v之间的叉积如果Y分量较大，则为(0, 1, 0)。这避免了奇点。
答案 1 :(得分：1)
v = (y - z, z - x, x - y)
这似乎符合您的所有条件，但非零u非零。例如，u = (1, 1, 1)将其炸毁。我怀疑你可能没有线性解决方案。