Question

主方法上T（n）= T（n / 2）+ 2 ^ n是否可能？

如何衡量此重现的时间复杂度。谢谢

Answer 1

好吧，做一些扩展：

T(n) = 2^n + T(n/2)
     = 2^n + 2^(n/2) + T(n/4)
     = 2^n + 2^(n/2) + 2^(n/4) + T(n/8)

...等

显然，复杂度至少为Ω（2 ^ n），因为扩展中存在 2 ^ n 。

此外，每次扩展中添加的术语变得非常快。你可能已经知道了：

2^n + 2^(n-1) + 2^(n-2)...  = O(2^n)

你有：

2^n + 2^(n/2) + 2^(n/4)...

除了第一个之外，这些术语都是较小的，直到 n <2 （围绕基本情况），所以你的序列在 O（ 2 ^ n），也就是说，下限是紧的，复发是在Θ（2 ^ n）

Answer 2

我们需要知道基本情况才能解决这种递归关系。首先，概括关系：

T(n) = T(n/2) + 2^n  
= [T(n/4)+2^(n/2)] + 2^n  
= [T(n/8)+2^(n/4)] + 2^(n/2) + 2^n
...

然后使用基本情况进行简化。

以下是https://users.cs.duke.edu/~ola/ap/recurrence.html的示例：

解决复发关系

您实际上可以解决上面给出的递归关系。我们将在这里草拟如何做到这一点。

我们会在下面的第一行写n而不是O（n），因为它会产生   代数要简单得多。

T（n）= 2T（n / 2）+ n
    =  2 [2 T(n/4) + n/2] + n

    =  4 T(n/4) + 2n

     = 4 [2 T(n/8) + n/4] + 2n

     = 8 T(n/8) + 3n

     = (ask your class to fill in this line, or you fill it in)

      you should have written: 16 T(n/16) + 4n 

     = 2k T(n/2k) + k n     [this is the Eureka! line]
您可以要求学生填写最后一行的部分内容。注意   最后一行是通过看到一个模式得出的 - 这就是   尤里卡/信仰/实践的飞跃，推广数学模式   部分问题。

我们知道T（1）= 1，这是结束上述推导的一种方法。   特别是我们希望T（1）出现在=的右侧   标志。这意味着我们想要：
   n/2k = 1    OR   n = 2k  OR   log2 n = k
继续前面的推导，我们得到以下因为k = log2 n：
     = 2k T(n/2k) + k n

     = 2log2 n T(1) + (log2n) n

     = n + n log2 n    [remember that T(1) = 1]

     = O(n log n)

这种复发的时间复杂性

2 个答案:

解决复发关系