Question

我对Coq中的模块或类型类不太熟悉，但基于我对它们的基本理解，我相信我有一个问题，我应该使用它们。

我想定义一个sum函数，它添加了多态list t的所有元素。只有当列表（t）的元素类型具有plus_function和plus_id_element的某些定义时，它才有效。我想写的sum的定义是这样的：

Fixpoint sum {t : Type} (l : list t) :=
  match l with
  | Nil => plus_id_element t
  | Cons x xs => ((plus_function t) x (sum xs))
  end.

我不知道在Coq中通常的方法是什么。我相信Idris，例如，可以用定义t和plus_function的接口/类型类替换plus_id_element。尽管Coq中存在类型类，但我还没有经常使用它们，我相信人们通常会使用模块来实现类似的东西。我不确定我是否混合了不相关的概念。模块和类型类是否对此问题有用？推荐的方法是什么？

Answer 1

确实，类型类是为这个确切的任务而设计的，但是你面临着设计适合你的问题的特定类层次结构的难题。

Coq没有提供数学运算符的标准层次结构，在构建类数，运算符和公理的选择方面存在许多微妙的权衡。

因此，我建议从成熟的开发开始，例如MathComp库。 MathComp基于“Canonical Structures”，它类似于类型类的概念，并提供了一些现成的类。 Packaging Mathematical Structures“论文包含更多详细信息，但基本思想是类型打包运算符。例如，如果要推理阿贝尔模块，可以使用zmodType结构：

From mathcomp Require Import all_ssreflect all_algebra.

Open Scope ring_scope.
Definition sum (A: zmodType) (s : seq A) := foldr +%R 0 s.

定义阿贝尔群A元素列表的总和。更好的是，不要定义自己的sum运算符，只使用库提供的运算符：\sum_(x <- s) x：

Lemma eq_sum (A: zmodType) (s : seq A) : sum s = \sum_(x <- s) x.
Proof. by rewrite unlock. Qed.

使用模块和类型类精炼类型

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