在二进制矩阵中找到“广义对角线”

Question

NXN矩阵中的“广义对角线”是N个单元的选择，例如：

1. 从每行和每列中选择一个单元格
2. 每个选定的单元格都包含非零值

我正在寻找一种算法来找到O（n ^ 3）中的广义对角线。在我看来，以下动态编程算法“足够好”，但我不确定如何分析其复杂性。

Set<Set<Integer>> failedCache = new HashSet<Set<Integer>>();

List<Integer> find(int[][] matrix, Set<Integer> used, int row) {
    int N = matrix.length;
    if (failedCache.contains(used))
        return null;

    if (row == N) return new ArrayList<Integer>();

    for (int col = 0; col < N; ++col) {
        if (matrix[row][col] == 0)
            continue;

        if (used.contains(col))
            continue;

        Set<Integer> newUsed = new HashSet<Integer>(used);
        newUsed.add(col);
        List<Integer> answer = find(matrix, newUsed, row + 1);
        if (answer != null) {
            answer.add(col);
            return answer;
        }
    }

    failedCache.add(used);
    return null;
}

Answer 1

该算法在最坏情况下以指数时间运行，因为在以下矩阵

 11111
 11111
 11111
 11111
 00000

它会尝试n！可能的组合。

对于多项式时间解，使用矩阵创建二分图，并找到perfect matching。

例如，使用矩阵

 011
 101
 001

您创建图表

 A    X
 B    Y
 C    Z

边缘A-> Y，A-> Z，B-> X，B-> Z，C-> Z。