主方法 - 与两个Ts的递归关系

Question

我正在学习数据结构和算法课程（这很难）。我们了解了当aT（n / b）+ f（n）形式时解决基本递归关系的主方法。现在我们已经了解了线性时间选择算法，它具有不是这种形式的关系，我被要求发现它更糟糕的情况下运行时间是渐近符号。

我发现复发关系为：

在我看来，Master Method并没有考虑到这一点 - 我可能错了。如果它没有，那么你如何找到更糟糕的运行时间？

Answer 1

主定理并不适用，但直接证明这种复发的严格限制并不太难。

你知道你不能比 O（n）做得更好，因为这个词已经复发了。你被告知它是一个线性时间算法，并且有一些经验你可以猜测，因为子问题的总大小比某个因子小n，所以你可以做到这一点很好强> O（n）的

剩下的就是证明它。

你可以通过归纳很容易地证明这一点。设C为（大）常数，使得：

对于所有 n，

T（n）＆lt; = T（n / 101 + 1）+ T（151n / 202 + 101）+ C（n + 1）/ 202 ，（eq 1）和

T（n）＆lt; = C（n + 1），对于所有 n＆lt; 1000 （eq 2）

对于任何 n＆gt; = 1000 ，如果（eq 2）适用于所有较小的 n ，那么我们有

T（n）＆lt; = T（n / 101 + 1）+ T（151n / 202 + 101）+ C（n + 1）/ 202 （eq 1）

T（n）＆lt; = C（n + 202）/ 101 + C（151n + 20604）/ 202 + C（n + 1）/ 202 （subst eq 2）

T（n）＆lt; = C（2n + 404）/ 202 + C（151n + 20604）/ 202 + C（n + 1）/ 202

T（n）＆lt; = C（156n + 20604）/ 202

T（n）＆lt; = C（0.78n + 102）＆lt; = C（n = 0.22n + 102）＆lt; = C（n = 220 + 102）（因为n＆gt; ; = 1000）

T（n）＆lt; = C（n + 1）

因此，如果我们如上所述选择 C ，那么（eq 2）适用于 n＆lt; 1000 表示它适用于所有 n ， T（n）表示O（n）