逐点可判定性是否意味着完全可判定性？

Question

如果我可以为每个特定P n决定一个命题n，它是否符合，那么我还可以决定是否forall n, P n ？感觉它应该可以通过n的一些归纳来实现，但我怎样才能在Coq中证明这一点？

Lemma dec_forall:
  forall (P : nat->Prop),
    (forall n, decidable (P n)) ->
    decidable (forall i, P i).

Answer 1

这不应该是可行的。如果forall i, P i为真，那么确认这一点的唯一方法是无限次地运行decidable (P n)。任何终止决策程序只能有限地分析i的有限值，因此永远不能断定forall i, P i是真的。

另一方面，forall i, P i是半可判定的：只需检查i的每个值，即可返回错误证明（通过查找反例）或不终止。反过来。