CRC突发错误检测校验和结果的证明

Question

据说CRC（循环冗余校验和）可以检测少于 r + 1 位的突发错误，其中 r 是多项式的次数。此外，以 1 - 2 ^-r 的概率检测到长度大于 r + 1 位的突发。

有人可以引导我去证明这一点吗？

Answer 1

不完全正确。除了一个模式（多项式本身）之外， r 位CRC将检测长度 r + 1 的所有突发模式。有关证明，请参阅these lecture notes。

简单地说，对于不检测错误的消息，CRC多项式必须除以误差多项式。如果误差多项式为 r 位长，则 r + 1 多项式不具有 x 作为因子（即具有1 term）不能划分度 r 多项式，它可以划分的唯一 r + 1 次多项式本身。所有CRC多项式都有1个项。

您的其他声明属于任何 r 位哈希的属性，该哈希在哈希值的所有可能的 r 位值上以相同的概率分布消息，CRC执行此操作。 2 ^-r 只是发生应用错误的概率恰好导致相同的CRC，其中 2 ^r 可能性。这就像说你在6面模具上滚动相同数字的机会是1/6。