确定两个线段是否相交？

Question

  

可能重复：
  How do you detect where two line segments intersect?

有人可以提供算法或C代码来确定两个线段是否相交吗？

Answer 1

这实际上取决于线条的表示方式。我将假设你以参数形式表示它们

  

x ₀ （t）= u ₀ + t v _{0 < /子>}

     

x ₁ （t）= u ₁ + t v _{1 < /子>}

此处， x ， u 和 v 是ℜ ² 和t∈[0,1]。

如果在这两个线段上都有一些点，则这两个点相交。因此，如果有一点 p ，那么就有一个t

  

p = x ₀ （t）= u ₀ + t的 v <子> 0

和s

  

p = x ₁ （s）= u ₁ + s的 v <子> 1

此外，s，t∈[0,1]，然后两条线相交。否则，他们没有。

如果我们将这两个等式结合起来，我们就得到了

  

u ₀ + t v ₀ = u ₁ + s v ₁

或者，相当于

  

u ₀ - u ₁ = s v ₁ - t v ₀

     

u ₀ =（x ₀₀ ，y ₀₀ ）

     

你 ₁ =（x ₁₀ ，y ₁₀ ）

     

v ₀ =（x ₀₁ ，y ₀₁ ）

     

v ₁ =（x ₁₁ ，y ₁₁ ）

如果我们以矩阵形式重写上面的表达式，我们现在有了

| x00 - x10 |   | x11 |      | x01 |
| y00 - y10 | = | y11 | s -  | y01 | t

这相当于矩阵表达式

| x00 - x10 |   | x11  x01 | | s|
| y00 - y10 | = | y11  y01 | |-t|

现在，我们有两个案例需要考虑。首先，如果这个左侧是零向量，那么就有一个简单的解决方案 - 只需设置s = t = 0并且点相交。否则，只有当右侧矩阵是可逆的时，才有一个独特的解决方案。如果我们让

        | x11  x01 |
d = det(| y11  y01 |) = x11 y01 - x01 y11

然后是矩阵的逆矩阵

| x11  x01 |
| y11  y01 |

由

提供

      |  y01   -x01 |
(1/d) | -y11    x11 |

请注意，如果行列式为零，则不定义此矩阵，但如果这是真的，则表示这些行是平行的，因此不相交。

如果矩阵是可逆的，那么我们可以通过左乘这个矩阵求解上述线性系统：

 | s|         |  y01   -x01 | | x00 - x10 |
 |-t| = (1/d) | -y11    x11 | | y00 - y10 |

              |  (x00 - x10) y01 - (y00 - y10) x01 |
      = (1/d) | -(x00 - x10) y11 + (y00 - y10) x11 |

所以这意味着

s = (1/d)  ((x00 - x10) y01 - (y00 - y10) x01)
t = (1/d) -(-(x00 - x10) y11 + (y00 - y10) x11)

如果这两个值都在[0,1]范围内，则两个线段相交，您可以计算交点。否则，它们不相交。另外，如果d为零，那么这两条线是平行的，这可能是也可能不是您感兴趣的。用C编写这个应该不会太糟糕;你只需要注意不要除以零。

希望这有帮助！如果有人可以仔细检查数学，那就太棒了。

Answer 2

您可以为两条线构建equation，找到交叉点，然后检查它是否属于这些线段。