在小于O（n ^ 2m）的时间内找到最小汉明距离

Question

如果您有void moreDumb() { BusinessClass::dummy(); } 个二进制字符串，每个长度为n，则可以更快速地确定任何一对之间的最小Hamming distance，而不是比较所有m对并为每个人计算他们的汉明距离？

  

那可以在不到O(n^2)的时间内完成吗？

除了其他任何内容，如下所述，汉明距离是一个适当的距离函数，因此满足三角不等式，这让我觉得应该有一个更快的解决方案。

Answer 1

考虑使用Locality Sensitive Hashing，这是一种可应用于某些距离指标（包括汉明距离）的通用技术。维基百科摘录：

  

LSH哈希输入项目，以便类似项目以高概率映射到相同的“桶”（桶的数量远小于可能的输入项的范围）。

简而言之，您可以使用LSH获取每个桶内的桶，蛮力汉明距离，并输出找到的最小距离。为了以更高的概率获得正确的答案，您可以调整LSH算法的参数和/或多次运行LSH（以便将不同的项目分配到存储桶）。我相信你可以任意接近正确的（最佳）答案，失败率在运行时呈指数下降。 （你可能需要对LSH参数进行二分搜索，如果你的汉明距离非常接近，但你仍然可以避免计算n^2汉明距离。）

算法和分析非常复杂，所以我不认为我现在可以在这里写一个完整的摘要（这是一个大约2-3小时的讲义材料）。我建议您查看讲义/幻灯片here，here和here;它们都覆盖了LSH（不同程度的细节），并提到了汉明距离。

Answer 2

如果不使用O(n^2m)执行完整搜索，则无法确定真正的最小值。所有更快的变体只会产生最佳最小值。

证明：

1. Assume there would be a faster solution.
2. Then for one or more combinations the hamming distance is not computed.
3. Omitting a combination means, that there is a criteria to decide
   the combination can't be better than the current best minimum.
4. There is no know criteria.

不幸的是，三角形不等式只能缩短真实最大值的计算：

1. 计算距离Di0，对它们进行排序并选择起始最大值。
2. 现在省略所有Dij，其中Di0 + D0j <=当前最大值。