从图中消除对称性

Question

我有一个算法问题，我在很多状态之间导出了一个传递矩阵。下一步是对它进行取幂，但它非常大，所以我需要对它进行一些减少。具体来说它包含很多对称性。下面是一些关于通过简单观察可以消除多少节点的例子。

我的问题是，是否有一种算法可以有效地消除有向图中的对称性，类似于我在下面手动完成它的方式。

在所有情况下，初始向量对于所有节点都具有相同的值。

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在第一个示例中，我们看到b，c，d和e都接收来自a和彼此之一的值。因此，它们将始终包含相同的值，我们可以合并它们。

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在此示例中，我们很快发现，从a，b，c和d的角度来看，图表是相同的。同样对于它们各自的侧节点，它附着在哪个内节点上也无关紧要。因此，我们可以将图形缩小到仅两个状态。

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更新：有些人很合理，不太确定“国家转移矩阵”是什么意思。这里的想法是，您可以将重组中的每个n的组合问题拆分为多个状态类型。矩阵然后告诉您如何从n-1到n。

通常你只对你的一个州的价值感兴趣，但你也需要计算其他州，所以你总能达到一个新的水平。但是，在某些情况下，多个状态是对称的，这意味着它们将始终具有相同的值。显然，计算所有这些都是非常浪费的，所以我们希望减少图形直到所有节点都是“唯一的”。

下面是示例1中简化图的传递矩阵的示例。

[S_a(n)]   [1  1  1] [S_a(n-1)]
[S_f(n)] = [1  0  0]*[S_f(n-1)]
[S_B(n)]   [4  0  1] [S_B(n-1)]

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对论文的任何建议或参考表示赞赏。

Answer 1

Brendan McKay的nauty（http://cs.anu.edu.au/~bdm/nauty/）是我所知道的用于计算图形自同构的最佳工具。计算图形的整个自同构群可能太昂贵了，但是你可能能够重用McKay的论文“Practical Graph Isomorphism”（链接自nauty页面）中描述的一些算法。

Answer 2

如果有其他人感兴趣，我会根据userOVER9000的建议添加一个额外的答案。 以下是通过nauty工具在示例2中使用dreadnaut的示例。

$ ./dreadnaut 
Dreadnaut version 2.4 (64 bits).
> n=8 d g                                     -- Starting a new 8-node digraph
 0 : 1 3 4;                                   -- Entering edge data
 1 : 0 2 5;
 2 : 3 1 6;
 3 : 0 2 7;
 4 : 0;
 5 : 1;
 6 : 2;
 7 : 3;
> cx                                          -- Calling nauty
(1 3)(5 7)
level 2:  6 orbits; 5 fixed; index 2
(0 1)(2 3)(4 5)(6 7)
level 1:  2 orbits; 4 fixed; index 4
2 orbits; grpsize=8; 2 gens; 6 nodes; maxlev=3
tctotal=8; canupdates=1; cpu time = 0.00 seconds
> o                                           -- Output "orbits"
 0:3; 4:7;

请注意，它建议加入示例2中0:3和a:d为4:7的节点e:h。

nauty算法没有详细记录，但作者将其描述为指数最坏情况，n^2平均值。

Answer 3

计算对称性似乎是一个二阶问题。在第二张图中只取a，b，c和d，必须表达对称性

a(b,c,d) = b(a,d,c)

及其所有排列，或其他一些排列。考虑添加第二个子图a'，b'，c'，d'。同样，我们有对称性，但参数化方式不同。

对于计算人（而不是数学人），我们能表达这样的问题吗？

  

每个图形节点都包含一个字符集。在每次迭代中，每个节点中的所有字母都通过箭头复制到其邻居（某些箭头需要多次迭代，并且可以被视为匿名节点的管道）。

     

我们正在努力找到确定诸如此类事物的有效方法   * N次迭代后每个集合/节点包含的字母数。   *对于每个节点，N之后其集合不再变化。   *什么样的节点集合包含相同的字母集（等价类）